z3中量词与集合的相互作用

我目前正在尝试使用Z3为一种带有集合的非类型化语言编码一个简单的程序逻辑

我的符号执行引擎需要证明以下公式的有效性：

为此，我们要求Z3检查以下各项的可满足性：

然后我们将其编码为以下SMT-LIB公式：

(define-sort Set () (Array Real Bool))

(define-fun singleton ((x Real)) Set
    (store 
       ((as const (Array Real Bool)) false)
       x
       true))

(define-fun set-union ((x Set) (y Set)) Set
    ((_ map (or (Bool Bool) Bool)) x y)) 


(declare-const head Real)
(declare-const tail Set)
(declare-const result Set)
(declare-const value Real)

(assert (forall ((x Real)) (=> (select tail x) (> x head))))
(assert (> head value))
(assert
   (forall ((result Set))
       (let ((phi1 
                (forall ((x Real)) (=> (select result x) (> x value))))
             (phi2
                (= result (union (singleton head) tail))))
          (not (and phi1 phi2)))))
(check-sat)

(define-sort Set () (Array Real Bool))

(define-fun singleton ((x Real)) Set
   (store 
      ((as const (Array Real Bool)) false)
       x
      true))

(define-fun set-union ((x Set) (y Set)) Set
     ((_ map (or (Bool Bool) Bool)) x y)) 


(declare-const head Real)
(declare-const tail Set)
(declare-const result Set)
(declare-const value Real)

(assert (forall ((x Real))(=> (select tail x) (> x head))))
(assert (> head value))

(assert
  (not 
     (forall ((x Real)) 
        (=> (select (union (singleton head) tail) x) 
            (not (<= x value))))))

 (check-sat)

给出此公式后，解算器立即输出未知。 我的猜测是，问题在于对绑定到集合的变量进行量化。 为了验证这一点，我简化了上面的公式，得到：
然后我们将其编码为以下SMT-LIB公式：

(define-sort Set () (Array Real Bool))

(define-fun singleton ((x Real)) Set
    (store 
       ((as const (Array Real Bool)) false)
       x
       true))

(define-fun set-union ((x Set) (y Set)) Set
    ((_ map (or (Bool Bool) Bool)) x y)) 


(declare-const head Real)
(declare-const tail Set)
(declare-const result Set)
(declare-const value Real)

(assert (forall ((x Real)) (=> (select tail x) (> x head))))
(assert (> head value))
(assert
   (forall ((result Set))
       (let ((phi1 
                (forall ((x Real)) (=> (select result x) (> x value))))
             (phi2
                (= result (union (singleton head) tail))))
          (not (and phi1 phi2)))))
(check-sat)

(define-sort Set () (Array Real Bool))

(define-fun singleton ((x Real)) Set
   (store 
      ((as const (Array Real Bool)) false)
       x
      true))

(define-fun set-union ((x Set) (y Set)) Set
     ((_ map (or (Bool Bool) Bool)) x y)) 


(declare-const head Real)
(declare-const tail Set)
(declare-const result Set)
(declare-const value Real)

(assert (forall ((x Real))(=> (select tail x) (> x head))))
(assert (> head value))

(assert
  (not 
     (forall ((x Real)) 
        (=> (select (union (singleton head) tail) x) 
            (not (<= x value))))))

 (check-sat)

（定义排序集（）（数组实数Bool））
（定义有趣的单例（（x实））集
（商店
（（作为常量（数组实布尔））false）
x
正确的）
（定义乐趣集并集（（x集）（y集））集
（（uu-map（或（Bool-Bool）Bool））x y））
（宣布警察局长为真）
（声明常数尾集）
（声明常量结果集）
（声明常量值为实）
（断言（forall（（x Real））（=>（选择尾部x）（>x头部）））
（断言（>头值））
（断言
（不是
（对于所有（（x真实））
（=>（选择（联合（单体头）尾）x）
（非（量词推理对于SMT解算器来说总是很困难的，在这种情况下，你有嵌套的量词。听到Z3在第一种情况下简单地说未知，我并不感到惊讶。还要注意的是，你在量化本质上是一个函数的东西（你实现的集合实际上是函数）但是，即使你对简单的事情进行量化，嵌套的量词也永远不容易释放

你是否尝试过将你的公式简化，将其转换为prenex标准形式，并去除存在论？这可能会让你走得更远，尽管你可能需要拿出合适的模式来进行实例化。
我对检查第一个公式的有效性感兴趣（重要的含义）我不太明白skolemization在这种特殊情况下是如何工作的，因为在否定了第一个公式之后，变量结果被普遍量化了。