Algorithm 查找最大回文子串，算法复杂度

您得到了一个字符串，例如

“acdfdcqqc”

，需要创建一个算法来查找最大的回文子字符串，在我们的例子中是

“cdfdc”

。通过创建一个大小为2n的数组，每次计算以该点为中心的最大回文的长度，很容易设计出一个O（n^2）算法，即：

a  -  c  -  d  -  f  -  d  -  c  -  q  -  q  -  c
1  0  1  0  1  0  5  0  1  0  1  0  1  4  1  0  1

对于2n个可能的起始点中的每一个，我沿着两个方向移动，找到从该位置开始的最大回文的长度。所以对于2n个操作中的每一个，我最多做O（n）个操作，因此O（n^2）的时间复杂度

我知道它可以在线性时间内完成，使用更高级的算法：

但是假设我们正在处理的字符串是从自然英语文本中提取的。如果我们在英文文本中随机选择一个位置，我们可能期望找到的对称性相当低。我甚至会说，预期的符号是少于一个字符的每一面。 因此，我可以说我的算法做了2n次预期的常数时间运算，使算法平均为O（n）吗

没有

在算法设计中，说一个算法在预期的

O（n）

时间内运行，意味着它对每个可能的输入都这样做。也就是说，期望值应该是算法的随机性（内部投币），而不是输入是从受限集合中均匀随机选择的事实

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然而，这并不意味着你的算法不好。可以使用这样一个事实，即输入仅限于英文文本，因此具有某些特性，使得算法比一般输入更快。但是您使用的术语（预期

O（n）

time）是为算法保留的，这些算法在每个输入上的运行时间预计为

O（n）

。

算法的预期运行时间是算法在所有可能输入上的平均运行时间。（参见的第5章。）正如教科书所指出的，解决这个问题并不总是容易的，有时使用另一种方法是有用的：在随机选择的输入上运行算法的时间。但原理是一样的：“预期运行时间”的概念是概率的，并且只适用于该算法的大量应用

相比之下，“最坏情况运行时间”是算法在任何输入（每个长度）上的最坏运行时间。这也不总是容易计算的，但它适合于最小上界计算，这在大O表示法的情况下是很好的，因为O（f（n））只表示f（n）是上界

如果将算法应用于受限输入集，则可以指定该受限集上的预期或最坏情况运行时间；如果输入在可能的输入范围内分布不均匀，则在计算预期运行时间时应将其考虑在内

在回文长度的情况下，如果输入是随机选择的英文文本的子字符串，则最大回文的预期长度为（略）大于从整个字符串中随机选择的文本的最大回文的预期长度，该字符串的字符从小写字母和空格字符集中提取。但对于这两组输入，最长回文的预期长度都是O（1）

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因此，可以说您的算法是“预期的O（n）”，尽管您还应该指定输入字符串范围的性质。但是，如果您无法控制算法的输入，最坏情况下的运行时间也是相关的，因为很容易为您幼稚的算法设计最坏情况输入，因此对其进行DoS攻击显然是可行的。

这不是“预期”时间的意思。你在描述“最坏情况”的时间。快速排序应为O（n日志n）；哈希表查找应为O（n）；这两种说法都很常见。（最坏的情况分别是O（n²）和O（n）。哪个对您的用例更有用？@rici，虽然快速排序的最坏情况时间是O（n²），但它在每个输入上的预期运行时间是O（n）。错误的输入并不罕见，它们并不存在。另一方面，问题中描述的算法假设大多数输入是“好的”，因此它通常在O（n）中运行。但这并非意料之中。快速排序之所以快速，是因为其内部的随机性，而不是因为其输入的分布。我正在考虑所有关于平面图的算法，使用Eurler公式（仅适用于平面图）来计算平均复杂度。它们不处理最一般的图形情况。在平均时间复杂度的计算中嵌入一些先验知识似乎是可以的，只要语句中清楚地表明，我们只关注案例的子集。否？快速排序的错误输入显然存在。这就是现代库使用introsort或类似方法的原因。@user3091275，是的，将先验知识嵌入到运行时间的计算中是可以的，但在当前问题中，与平面图算法相反，先验知识并不适用于每一个输入，而仅适用于大多数输入。因此，建议的算法将无法在某些输入上具有预期的线性运行时间。