Algorithm 如何将大小相等的正方形网格减少为一组最小的矩形？

如果我有一个由大小相等的正方形组成的任意大小的网格（它们之间没有间距），我需要知道一种有效的方法来将它们减少为最小数量的矩形，例如，如果每个星号代表一个正方形，那么可以将其减少为一个大矩形：

*****
*****
*****

虽然这可以简化为两个矩形：

  ***             ***
*****   =>  **(1) ***(2)
*****       **    ***
  ***             ***

一个明显的解决方案是收集每行中的相邻方块，然后收集相同的相邻行。对于我的第二个例子，这将找到三个矩形，这不是最优的

  *** (1)

***** (2)
*****

  *** (3)

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我想知道是否有一种更成功、更高效的算法可以做到这一点。

我不知道是否有一种算法可以做到这一点，所以我编了一个：

求（xmin，ymin）（xmax，ymax），即现有正方形的x和y坐标的最小值和最大值。这将定义一个包围所有正方形的边框

查找并连接边界矩形内的直线凹角

对评论的回答：好的，如果我们沿着网格线连接所有的凹面周界角，逐渐移除（标记）周界矩形，我们在上述困难的示例中得到以下结果：

   A
   XBB
CCCX
   XDD
   X
 EFFFG
  I J
  I J

正如已经正确指出的那样，这是次优的。当可能有多种方式时，需要做出一些决定，以便成对连接凹面。选择新矩形数最少的一个。（见最低X下的F）

分割完成后，我们现在添加另一个扩展（合并）现有矩形的阶段。至关重要的是，只有这样的合并是允许的，不会减少任何现有的矩形。将最上面的X更改为B将是不允许的更改，因为Xs矩形已缩小。此条件保证仅在朝向最小矩形数的方向上进行更改。在上述示例上继续此过程，我们得到：

   X
   XBB
CCCX
   XDD
   X
 FFFFF
  I J
  I J

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在本例中，这恰好是最优的，但一般来说，您可能必须使用这些操作进行状态空间搜索，以找到全局最小值。

我直觉认为这个问题可能很复杂。。。例如，考虑

   *
   ***
****
   ***
   *

最优解为4

   B
   BCC
AAAB
   BDD
   B

但我并没有找到一个简单的方法来通过局部推理预测A应该在最后一个方块之前停止。在最优解中，A、C和D是非最大矩形，只有B是最大矩形。事情可能变得更加复杂，例如：

   *
   ***
****
   ***
   *
 *****
  * *
  * *

最佳解决方案是什么

   B
   BCC
AAAB
   BDD
   B
 EEEEE
  F G
  F G

其中只有E是最大的。此外，在最优解中，除了一个矩形外，所有矩形都是非最大的，这看起来很容易建立任意大的问题。 当然，这并不意味着IMO不存在简单的解决方案。。。就像我说的，这是一种直觉，但我认为，如果需要绝对最小值，任何用最大矩形推理的解算器都会有问题

对于一个类似但又不同的问题（我搜索的是一个包含不一定不相交的圆盘的最小覆盖），我使用了一种缓慢的贪婪方法，总是将包含的圆盘添加到解决方案中，并覆盖大多数尚未覆盖的正方形。

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对于您的问题，我可能会看到它是如何工作的每次添加最大的包含矩形。。。正如上面的例子所示，这通常不是一个最佳的解决方案。

试试谷歌搜索“最小矩形覆盖”。因为你在网格上工作，我想旋转90度是允许的。那么，从一个方向开始，执行您声明的算法如何。这将给出（1）、（2）和（3），就像你在例子中所说的那样。旋转90度。重复你的算法。您将得到（1）和（2）。这是启发性的……不确定它是否是最优的。@Bart试过了，但这是所有想要的money@Tryer“我同意启发式，但我希望有比这更好的解决方案。”彼得韦斯特：你能告诉我们最大网格大小的估计值吗？（用星号单位！）你能举个简单的例子吗？我不太明白这个逻辑。这个导致了一个矩形分区。。。但不是一个最小的。谢谢，我猜这将是一个不平凡的解决。我正在考虑一个类似的解决方案，但寻找一些聪明的数学解决方案。