Algorithm 有没有一种算法可以在加权图中不重复地找到最佳的顶点对集？

在具有偶数个顶点的完全加权图中，是否有任何有效的算法可以找到具有以下性质的边集

• 对于任何满足其他条件的集合，集合具有最小、最大的边权重
• 每个顶点仅连接到集合中的一条边

所有权重均为正值

我想不出比暴力更好的方法，但我不认为它是NP难的。

试试这个（我只是想到了这个，所以我既没有证据证明它能给出最佳答案，也没有证据表明它是否能在所有情况下产生解决方案）：

搜索最重的顶点V（A，B）

从图形中删除vertice V

如果A仅连接到单个其他垂直T（A，C），则移除连接到C的所有其他边，并对这些边重复步骤3

如果B仅连接到单个其他垂直S（B，D），则移除连接到D的所有其他边，并对这些边重复步骤4

重复步骤1

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在多项式时间内解决此问题的一种方法如下：

按O（E log E）时间对边权重排序

对于每条边，在~O（E）时间内为其指定一个伪权重E'=2^{position}

在O（V^3）时间内找到伪权重之间的最小权重完美匹配（取决于您选择的算法，它可能会更慢或更快）

这将最小化完美匹配包含的最大边，这正是您在O（V^3）时间内所寻找的

下面给出了如何执行第3部分的来源
[1]
[2]
[3]

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在

中，样本的C++源具有“最小最大可能权重”，你的意思是集合中的最大边权是所有的集合的最小值吗？如果是这样，那么为什么不选择空集，如果不允许，则选择具有单条边的集，即具有最小权重的边。编辑以进行更正。我确实需要这样做。啊，那么为什么不把最后两条语句组合成“每个顶点都连接到集合中的一条边”：-）我已经这样做了，因为这是个好主意。除非你进一步约束图（例如，它是二部的吗？），否则甚至不一定有解决方案：例如，4个顶点a、b、c、d和3条边ab、ac，这是我的贪婪算法。我认为它不会给出正确的答案，因为解决方案集可能不包含最重的边。例如ABCD、AB:100、BC:10、CD:10、DA:10、AC:10、BD:10。一个解集是AC，BD，它不包含最重的边AB。@ashaw：实际上，在这种情况下，算法将删除AB，并留下一个最优的20重解。我的算法不起作用的图形是：ABCD，AB:100，CD:10，AC:80，BD:80，AD:80，BC:80。最优解集是（AB，CD）=110，但该算法将产生次优160解，因为它很早就确定100不在解集中。啊，但这不是问题所在，因为我们正试图找到具有最小最大边的集。@ashaw:我想我误解了一些东西，你能给出几个示例图吗，以及他们各自的预期解决方案？你能更严格地定义“最小最大边”吗？这不是我所问问题的答案。我不是想找到边的最小和，而是具有最小最大边的集合，我编辑了这个问题以使其更清晰在排序中取2^位置的目的是确保它找到最小最大边，因为任何边的伪权重大于较小边的伪权重之和，不惜一切代价强制算法避免大边。