Algorithm 指数函数的大O表示法

我注意到1000n或10n的大O和O（n）是一样的，但是2^n和3^n的大O是不同的：O（2^n）和O（3^n），我不明白的是为什么我们不能忽略这个例子中的常数（2或3）是否有任何数学证明可以证明这一点？

因为不存在满足不等式

3^n的
k
常量，即使对于最初的提问者来说，这可能不再有用，
我认为可以用更简单的方法来接近它

O-符号的基本防御：iff（g）将在O（g（n））中，

然后存在一个有理数c，它认为f（g）=c*g（n），对于n>=n0
（n0是一个你自己选择的数字）

让我们尝试将此应用于O（2^n）中的3^n

3^n=2^n*c

3^n=2^n*（3^n/2^n）

3^n=2^n*（3/2）^n

3^n=2^n*1.5^n

这意味着c=1.5^n，这不是一个有理数，而是一个指数函数

另一方面，对于O（2^n）中的3^n，我们将得到2^n0，这意味着如果你取任何c>1，它将大于0.67^n，从n=0到两个复杂度，f（n）和g（n）你应用了极限：
lim{n->\inf}f（n）/g（n）你有三个可能的答案：

1） lim{n->\inf}f（n）/g（n）=0；
这意味着f（n）∈ O（g（n））和g（n）∉ O（f（n））

2） lim{n->\inf}f（n）/g（n）=+/-inf；
这意味着f（n）∉ O（g（n））和g（n）∈ O（f（n））

3） lim{n->\inf}f（n）/g（n）∈ 实数；
这意味着f（n）∈ O（g（n））和g（n）∈ O（f（n））

然后去demostrade 2^n∈ O（3^n）您这样操作吗

lim{n->\inf}2^n/3^n=lim{n->\inf}（2/3）^n=0

并且被证明了，我们也证明了3^n∉ O（2^n），很容易看出2/3<1，这使得极限收敛到0，那么极限的结果取决于常数，我的意思是，如果0inf}a^n=0，如果a>1，lim{n->inf}a^n=inf

为了更好地理解检查：算法介绍，第三版
托马斯·H·科曼、查尔斯·E·莱瑟森、罗纳德·L·里维斯特和克利福德·斯坦

我是算法教授，希望能对你有所帮助。小心。
不要忽略大O符号中的常量。忽略系数。2和3是基数，不是系数。你能说出大Oh的定义吗？记住，大Oh有一个数学定义，不应该完全凭直觉使用。在我看来，记住“你有时可以忽略常数”是一个坏习惯。准确地说，你展示了一个反例来反驳
O（3^n）=O（2^n）
。特别是，使用上面给出的参数，
f（n）=3^n
位于
O（3^n）
中，但不在
O（2^n）
中。因此，通过公理，这些集合是不相等的Extensionality@roliu：我不知道那条公理是什么，但是的，那是隐含的论点；）这是最流行的集合论中的一个公理，ZFC:。它只是说“如果两个集合包含相同的元素，那么它们是相等的”。从来没有人在真正的证明中引用过它，但我只是试图说服SO开始使用实际的数学推理而不是直觉（通过极其冗长的数学术语）。如果您只是想在编写代码时决定使用哪个实现，那么可以使用直觉。当有人说“证明这一点”时，我认为你应该，你知道，使用数学：）@roliu:Hmm，我认为这里的大多数人会满足于“如果两个集合没有相同的成员，那么它们就不相等”，而不必求助于证明/行话！集合论公理可能有点超出了SO的范围（与CS/Math StackExchange相反）。但是谢谢你的链接，我总是有兴趣学习一些有趣的数学…（而且…七个月后，我通过另一条途径得出了同样的问题，专门寻找@rliu提供的信息。我想这只是为了展示。）