Algorithm 幂次幂的递推算法

我需要计算一个幂的幂。例如：3^2^n。您可以将n视为输入，但此示例与9^n不同。我使用循环编写算法，但现在我需要编写递归算法。我找不到一个有效的方法来写它。

假设x^（y^n）=

pow（x，y，n）

带y和n>=1

如果y>1且n>1，

pow（x，y，n）=pow（x，y，1）*pow（x，y，n-1）

（更接近结果）

如果y>1且n=1，

pow（x，y，1）=x*pow（x，y-1，1）

（越来越近）

如果y=1，n=1，

pow（x，1，1）=x

（已解决）

这比循环效率低，但它是递归的。这就是你的目标吗

编辑正如@pjs所指出的，第一种情况应该是：

powpow（x，y，1）=powpow（x，powpow（y，n，1）

假设x^（y^n）=

powpow（x，y，n）

，其中y和n>=1

如果y>1且n>1，

pow（x，y，n）=pow（x，y，1）*pow（x，y，n-1）

（更接近结果）

如果y>1且n=1，

pow（x，y，1）=x*pow（x，y-1，1）

（越来越近）

如果y=1，n=1，

pow（x，1，1）=x

（已解决）

这比循环效率低，但它是递归的。这就是你的目标吗

编辑正如@pjs所指出的，第一种情况应该是：

---

powpow（x，y，1）=powpow（x，powpow（y，n，1），1）

我们可以使用以下公式有效地计算复杂度为O（logy）的功率（x，y）：

power(x, y) : 
   if y is 0 : return 1

   if y is even :
       return square( power(x, y / 2))
   else :
       return square( power(x, (y - 1) / 2 ) * x

使用我们可以计算上述过程的复杂度为O（logy）（类似于二进制搜索的情况）

现在，如果我们使用上面的过程来计算3^（2^n）

我们可以看到，（2^n）将以O（logn）和3^k计算。其中k=2^n，将以O（log k）=O（log（2^n））=O（n）的形式计算

因此，按顺序使用二进制幂运算技巧，我们可以使用O（n）的复杂度来解决这个问题

迭代方法

想法：假设我们计算了3^（2^x）。然后我们可以很容易地计算出3^（2^（x+1）），只需将3^（2^x）平方为：

因此，如果我们从3^（2^0）开始，在n个步骤中，我们可以达到3^（2^n）：

---

显然，上述解决方案的复杂性也是O（n）重新草书方法

我们可以使用以下公式有效地计算复杂度为O（logy）的功率（x，y）：

power(x, y) : 
   if y is 0 : return 1

   if y is even :
       return square( power(x, y / 2))
   else :
       return square( power(x, (y - 1) / 2 ) * x

使用我们可以计算上述过程的复杂度为O（logy）（类似于二进制搜索的情况）

现在，如果我们使用上面的过程来计算3^（2^n）

我们可以看到，（2^n）将以O（logn）和3^k计算。其中k=2^n，将以O（log k）=O（log（2^n））=O（n）的形式计算

因此，按顺序使用二进制幂运算技巧，我们可以使用O（n）的复杂度来解决这个问题

迭代方法

想法：假设我们计算了3^（2^x）。然后我们可以很容易地计算出3^（2^（x+1）），只需将3^（2^x）平方为：

因此，如果我们从3^（2^0）开始，在n个步骤中，我们可以达到3^（2^n）：

---

显然，上述解决方案的复杂性也是O（n）

我在Ruby中实现了这一点，它非常接近伪代码，并且具有可测试性的额外好处。由于Ruby还具有任意精度的整数算法，下面的代码可以处理非平凡参数

此实现基于一个老技巧，即当指数为偶数时，将基数平方并将其提高到指定幂的一半，因此递归堆栈以对数而不是线性幂增长。这是从Ilya的回答中得到的启发，但我发现

y>1和n>1

的情况不正确，导致我在下面的

elif n>1

行中实现的递归调用中使用递归调用：

def powpow(x, y, n)
  if y == 0
    return 1
  elsif y == 1 || n == 0
    return x
  elsif n > 1
    return powpow(x, powpow(y, n, 1), 1)
  elsif y.even?
    return powpow(x * x, y / 2, 1)
  else
    return x * powpow(x * x, y / 2, 1)
  end
end

p powpow(3,2,5)   # => 1853020188851841

我能够直接确认这一结果：

irb(main):001:0> 2**5
=> 32
irb(main):002:0> 3**32
=> 1853020188851841

---

我继续用Ruby实现了它，它非常接近于伪代码，并且具有可测试性的额外好处。由于Ruby还具有任意精度的整数算法，下面的代码可以处理非平凡参数

此实现基于一个老技巧，即当指数为偶数时，将基数平方并将其提高到指定幂的一半，因此递归堆栈以对数而不是线性幂增长。这是从Ilya的回答中得到的启发，但我发现

y>1和n>1

的情况不正确，导致我在下面的

elif n>1

行中实现的递归调用中使用递归调用：

def powpow(x, y, n)
  if y == 0
    return 1
  elsif y == 1 || n == 0
    return x
  elsif n > 1
    return powpow(x, powpow(y, n, 1), 1)
  elsif y.even?
    return powpow(x * x, y / 2, 1)
  else
    return x * powpow(x * x, y / 2, 1)
  end
end

p powpow(3,2,5)   # => 1853020188851841

我能够直接确认这一结果：

irb(main):001:0> 2**5
=> 32
irb(main):002:0> 3**32
=> 1853020188851841

---

n

总是一个正整数吗？是的，这是一个正整数，你能证明一下吗？我们不能做9^n。我们能做3^（2n）吗？澄清一下：你想评估3^（2n）？你被困在哪里？你能添加你的初始试用期吗，即使它偏离了方向吗？

n

是否总是一个正整数？是的，它是一个正整数，请你确认一下？我们不能做9^n。我们能做3^（2n）吗？澄清一下：你想评估3^（2n）？你被困在哪里？你能添加你的初始试用期吗，即使它偏离了方向？在你的答案中添加几行描述也是一个好主意。你为什么选择这个算法，它的优缺点是什么，等等。对于问题（x^（y^n）），我首先尝试实现（y^n）的递归，然后使用val=（y^n）的答案再次实现（x^val）的递归。在你的答案中添加几行描述也是一个好主意。你为什么选择这个算法，它的优点和缺点是什么，等等。对于问题（x^（y^n）），我首先尝试实现（y^n）的递归，然后使用val=（y^n）的答案再次实现（x^val）的递归