Algorithm 如果一条边的权重减小，则更新最短路径距离矩阵

给出了一个加权图G及其最短路径距离矩阵delta。所以delta（i，j）表示从i到j的最短路径的权重（i和j是图的两个顶点）。 delta最初包含最短路径的值。边缘E的重量突然从W减小到W'。如何更新O（n^2）中的增量（i，j）？（n=图形的顶点数） 问题不是再次计算具有最佳O（n^3）复杂度的所有对最短路径。问题是更新delta，这样我们就不需要重新计算所有对最短路径

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更清楚：我们只有一个图和它的delta矩阵。增量矩阵只包含最短路径的值。现在我们想根据图中的一个变化来更新增量矩阵：减少边权重。如何在O（n^2）中更新它？

阅读Dijkstra的算法。这就是你如何解决这些最短路径问题，并且在不到O（n^2）的时间内运行

编辑这里有一些微妙之处。这听起来像是提供了从图中任意i到任意j的最短路径，听起来像是需要更新整个矩阵。在该矩阵上迭代是n^2，因为该矩阵是每隔一个节点的每个节点，或者是n*n或n^2。简单地对delta矩阵中的每个条目重新运行Dijkstra算法不会改变这个性能等级，因为n^2大于Dijkstra的O（| E |+| V | log | V |）性能。我是正确地阅读了这篇文章，还是我记错了大O

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EDIT-EDIT看起来我记错了big-O。在矩阵上迭代将是n^2，而Dijkstra在每个矩阵上的迭代将是额外的开销。我不知道如何在一般情况下做到这一点，而不知道哪些路径W'包含在。。。这似乎意味着应该检查每一对。因此，您需要在固定时间内更新每一对，或者避免检查数组的重要部分。

如果从节点a到节点b的边E的权重减小，则我们可以在固定时间内更新从节点i到节点j的最短路径长度。从i到j的新最短路径要么与旧路径相同，要么包含从a到b的边。如果它包含从a到b的边，那么它的长度是

delta（i，a）+边（a，b）+delta（b，j）

由此看来，更新整个矩阵的O（n^2）算法很简单，处理无向图的算法也很简单。

虽然两者都考虑增减。增加会使情况更加困难。 然而，在第一个例子中，第973页第3节，他们解释了如何只减少n*n

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不，动态全对最短路径可以在不到nnn的时间内完成。我想维基百科不是最新的；）

什么是n？边或顶点的数量？您的措辞可以改进。矩阵是δ，矩阵的一个元素是δ（i，j）。有趣的问题。我很确定没有比重新运行Floyd Warshall更快的解决方案了，它是O（n^3），但我无法证明。Dijkstra给出了单源最短路径。是的，Dijkstra可以用来在不到O（n^2）的时间内更新矩阵的一行（如果图是无向的，则更新一列）。但是要更新整个矩阵，它比O（n^2）更糟糕。好吧，问题不是使用dijkstra并得到O（n^2）的单源最短路径。我们想要计算所有对最短路径（保存在delta（i，j）中），而计算整个delta的最佳方法是O（n^3）{在CLRS}中声明。在这里，我们想根据一条边的变化来更新增量（而不是再次完全重新计算）。@Robert做的事情（大致）是n logn，n^2倍，成本是O（n^3 logn），而不是O（n^2）。否则，你可以做一些花费O（n！），n倍于O（n）@桑吉特，@chris-绝对。我在你发帖的时候编辑了我的问题，后来又更新了@帕萨同意。但由于不知道最短路径的组成部分，因此无法知道（我可以想到）矩阵的哪些组成部分必须更新。如果你做了，这将是一个简单的减法。除非我严重误读了这个问题，否则我们不知道最短路径的组成部分。要更新路径W'的增量，我们需要知道它们。除非我们能在固定时间内做到这一点，否则我们已经打破了我们的界限。我真的不明白你说的话。我们只有delta矩阵，它只包含表示最短路径长度的值。你怎么知道边E以前是否在i到j的最短路径中？你只有一个数字，让我再次澄清这个问题：我们只有一个图和它的delta矩阵。增量矩阵只包含最短路径的值。现在我们想根据图中的一个变化来更新增量矩阵：减少边权重。如何在O（n^2）中更新它？有什么建议吗？我重新措辞了我的问题，并进一步澄清了它。罗伯特：看来克里斯是对的。我们不需要知道前面的最短路径是否包含边E。我们计算新的最短路径，如果它的值小于之前的delta（i，j），我们用新的更新它@克里斯：使用delta（a，i）和delta（j，b）会不会有问题？我自己现在觉得你的解决方案没有错，但我认为这个问题比这个更难；）你们都同意Chris的上述解决方案是正确的吗？（再次强调上述方法不需要了解之前的路径）