Algorithm 寻找度小于其邻域的图中的所有顶点

我正在尝试写一个算法，可以找到一个图中所有顶点的集合，这些顶点的度数小于它们的邻域。我最初的方法是找到每个顶点的度数，然后遍历列表，将每个顶点的度数与其相邻顶点的度数进行比较。不幸的是，这看起来可能非常耗时。有没有更有效的方法来找到这个集合？

一条评论-如果你正在处理无向图（谢谢，），一旦你确定一个顶点的度数小于其所有邻域的度数，你就不需要检查邻域，因为它们都没有这个属性。考虑使用这些知识来帮助你加快速度。

< P>我想一个无向图的贪婪方法如下：

let Q = all nodes which haven't been checked (initialize all V)
let Q* = all nodes which satisfy the required condition (initialize to empty)
start with an arbitrary node, v in Q
while Q is not empty
    let minDeg be the minimum degree of all v's neighbors
    if degree(v) < minDeg
        add v to Q*
        remove all neighbors of v from Q
        remove v from Q
        set v = new arbitrary node, v in Q
    else
        remove v from Q
        set v = v's neighbor in Q of minimum degree

让Q=所有未检查的节点（初始化所有V）
设Q*=满足所需条件的所有节点（初始化为空）
从任意节点开始，v在Q中
而Q不是空的
设minDeg为v的所有邻域的最小度
如果度（v）

该算法可能稍微更有效，因为在每次迭代中，它要么找到一个满意的节点，要么检查一个程度较低的新节点，并从图中删除一个节点

在最坏的情况下，它将等同于您的暴力算法。不过，平均而言，我认为它应该表现得更好。

也许“这看起来可能非常耗时”，但有一种更好的方法可以发现：-）

假设您已将图形存储为邻接列表。要找到你正在寻找的集合，你必须查看所有的边，因此我们有一个Ω（| E |）的下限。找到每个顶点的阶数需要时间O（| E |）（因为你只看一次每个边；另一个证明是使用以下事实∑d（v）=2 | E |）。将每个顶点的阶数与其所有相邻顶点的阶数进行比较也只需O（| E |）次（同样，对于每条边，您只需进行一次比较）。这意味着您的算法在O（| E |）时间内运行（大约2 | E |“步数”，但CPU指令的精确数量取决于您的实现），这符合下限。因此，在最坏的情况下，您的“暴力”算法基本上是（达到一个小常数）尽可能快的，因此不值得进一步优化

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如果您是为真实世界的应用程序这样做的，并且确实发现您的算法花费了太多的时间，那么请使用探查器查找要优化的部分。优化算法的第二阶段是至关重要的，这一点一点也不明显。

如果是有向图，则这一点不成立。这是一个极好的观点！哦，离开学术界的时间使我的头脑迟钝了！