Algorithm 嵌套循环的程序复杂性

我发现了以下算法：

for i in range(1, n)
    for j in range(i+1,n+1)
           for k in range(1,j+1)
               //some instructions

我想确定它的复杂性，到目前为止，我所做的工作如下：

我已经将三个循环转换为求和，所以

因此，当我分析循环j和k时，很容易看出，当j从2开始时，k会生成2个循环，当j从3开始时，k会生成3个循环，依此类推。在这一点上，我可以做如下事情：

我认为c是k循环中的指令。对于完成，我可以说我有：

这个分析是正确的还是我遗漏了什么

谢谢

正如您所相信的，这里有O（n^3）个步骤。你的启发已经表明O（n^3）是一个上界——但有人可能会问它是否是一个紧上界。事实上，它是（假设每个循环的内容本质上是一个常数时间操作）

了解这一点的一种方法是制定一些宽松的上限和下限

对于上界，请注意i的范围为1到n，j的范围为1到n+1的子集，k的范围为1到n+2的子集。然后，与i、j和k分别经过（1，n）、（1，n+1）和（1，n+2）时相比，步骤更少。这是O（n^3）步。因此，最多有O（n^3）个步骤。我注意到这大概是你用来给出答案的启发式方法

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对于下限，我们可以注意到，当i在（n/3，2n/3）中时，j指数将始终包括范围（2n/3+1，n+1）。对于这些范围内的i和j，k指数总是包括范围（1，2n/3+2）。这些范围的长度是n/3（对于i）、n/3（对于j）和2n/3+1（对于k）。这也是n^3阶，所以O（n^3）是正确的估计。有些人会说这是BigTheta（n^3）。

结果是好的，是O（n^3）。你得到的数字是正确的。