Algorithm Dijkstra和负边

我很难理解为什么Dijkstra的算法不适用于具有负边的无环有向图。据我所知，Dijkstra对图进行宽度优先遍历，在适当的时候放松。例如，考虑图：

S->A (3)
S->B (4)
B->A (-2)

其中S是源节点。这就是我想象的工作方式：

1标记A，距离为3。标记距离为4的B

2在A上递归。由于A不指向任何节点，因此不执行任何操作

3在B上递归。由于B指向A，请检查B的距离+B->A是否小于A的当前距离。2<3，因此用距离2标记A

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但显然这不是它的工作原理，因为我用的书给出了这个图表来说明为什么负片不起作用。我听不懂这本书的解释。Dijkstra如何处理这张图，为什么他们不使用我想象的方法？

问题是，一旦处理一个节点，之后就无法更新其距离，因为这将需要递归更新，并将放弃整个读取过程：违背算法的假设，即节点是在与源的距离单调增加的情况下处理的；请参阅该算法的正确性证明，以了解需要该算法的地方。因此，一旦处理了一个节点，以后就不能更改其距离，这意味着不能有负边，因为它们可能会缩短到先前处理的节点的距离。假设距离单调增加，这就是为什么处理完节点后将其标记为黑色，然后忽略黑色节点的原因。因此，即使在该图中，A的距离是2到S，Dijkstra的算法也会给你一个3的距离，因为它忽略了在A被处理后通向A的任何边

编辑：以下是Dijkstra的算法的作用：

1以3的距离标记A，将其放入等待处理的节点队列中；标记距离为4的B，将其放入队列

2从队列中取出一个，因为它在前面。由于A不指向任何节点，因此不更新任何距离，也不向队列添加任何内容。将A标记为已处理

3把B带出队列。B指向A，但A标记为已处理；忽略边B->A。因为不再有来自B的传出边，所以我们完成了

编辑2：

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关于DAG，您根本不需要Dijkstra算法。DAG总是有一个拓扑顺序，可以用O | V |+| E |计算，并按照拓扑顺序处理顶点，使用dw=min{dw；dv+cv，w}作为更新距离的规则，其中dv是顶点V到源的距离，而cv，w是边V的长度，w将同样在O | V |+| E |中给出正确的距离。总共有两个步骤，每个步骤都需要O | V |+| E |，因此这就是计算具有任意边长度的DAG中单源最短路径的总复杂性。

问题是，一旦处理节点，之后就无法更新其距离，因为这将需要递归更新，并将放弃整个读取过程：违背算法的假设，即节点是在与源的距离单调增加的情况下处理的；请参阅该算法的正确性证明，以了解需要该算法的地方。因此，一旦处理了一个节点，以后就不能更改其距离，这意味着不能有负边，因为它们可能会缩短到先前处理的节点的距离。假设距离单调增加，这就是为什么处理完节点后将其标记为黑色，然后忽略黑色节点的原因。因此，即使在该图中，A的距离是2到S，Dijkstra的算法也会给你一个3的距离，因为它忽略了在A被处理后通向A的任何边

编辑：以下是Dijkstra的算法的作用：

1以3的距离标记A，将其放入等待处理的节点队列中；标记距离为4的B，将其放入队列

2从队列中取出一个，因为它在前面。由于A不指向任何节点，因此不更新任何距离，也不向队列添加任何内容。将A标记为已处理

3把B带出队列。B指向A，但A标记为已处理；忽略边B->A。因为不再有来自B的传出边，所以我们完成了

编辑2： 关于DAG，您根本不需要Dijkstra算法。DAG总是有一个拓扑顺序，可以用O | V |+| E |计算，并按照拓扑顺序处理顶点，使用dw=min{dw；dv+cv，w}作为更新距离的规则，其中dv是顶点V到源的距离，而cv，w是边V的长度，w将同样在O | V |+| E |中给出正确的距离。总共有两个步骤，每个步骤都需要O | V |+| E |，因此这就是计算具有任意边长度的DAG中单源最短路径的总复杂性