Algorithm 如何使用动态规划找到最大概率？

为了更好地理解此问题，您可以查看：-

(一)

约翰正在和一个魔术师玩一个游戏。在这个游戏中，他面前最初有N个完全相同的盒子，其中一个盒子里有一颗神奇的药丸——吃了这颗药丸后，他就长生不老了

他必须确定哪个盒子里装着药丸。他最多可以表演“M”步。在每个动作中，他可以执行以下操作之一：

(一)

随机选择他面前的一个盒子，猜这个盒子里装的是药丸。如果猜对了，游戏结束，他得到了药丸。否则，在这个猜测之后，魔术师在他面前添加了K个空盒子，这样约翰就无法确定添加了哪些盒子；他猜到的盒子也留在他面前，在随后的动作中，他也无法区分这个盒子和其他盒子

2） 选择一个数字X，使X是K的正倍数，但严格小于John前面的当前框数。然后魔术师移除X个空盒子。当然，如果当前的框数为，John不得执行此移动≤K

如果约翰打得很好，他服用避孕药的最大可能性是多少？”N总是小于K

示例：-设M=3，因此允许3次移动。K=20，N=3

在他的第一步中，约翰选择了一个概率为x=1/3的盒子，（20个盒子被添加（20+3==23），然后在第二步中，他再次选择了一个盒子，这次概率为y=1/23*（2/3）。这里，2/3表示第一步失败的概率

在第三步中，他用概率做同样的事情，z=1/43*（22/23）*（2/3）

所以总概率是=x+y+z=l1

比方说，在上面的例子中，在第二步中，他选择移除20个盒子而不做任何其他事情，那么新的最终概率是=1/3+0（第二步中没有做任何事情！）+2/3*（1/3）=l2。现在，由于l2>l1，所以“l2”是我们问题的答案

基本上，我们必须确定哪一系列的动作会产生最大的概率

p（获胜）=p（游戏以第一步结束）+p（游戏以第二步结束）+p（游戏以第三步结束）=（1/3）+0+（2/3）*（1/3）=5/9

给定N，K，M，我们怎样才能求出最大概率？ 我们必须应用动态规划吗？

假设p（N，K，M）是John的概率，如果他发挥最佳。我们有以下递归关系：

• p（N，K，0）=0
  • 如果没有剩余的动作，他就输了
• 如果M>0且N
• 如果至少还有一个剩余动作，并且选项2不允许，那么他获胜的概率是他在这一轮猜对的概率，加上他在这一轮猜错但在下一轮获胜的概率

如果M>0且N≥ 十、 那么p（N，K，M）是这两者中的较大者：

• 1/N+（N−1） /N·p（N+K，K，M）−1)
  • 如果他选择了选项1，那么这与他被迫选择选项1的情况相同
• p（N%K，K，M）−1） ，其中“%”是“余数”或“模数”运算符
  • 如果他选择了选项2，那么他肯定不会在这一步中获胜，因此他的获胜概率等于他在下一轮中获胜的概率
  • 注意，我们只需要考虑N%K，因为他当然应该选择他允许的最大X值。

动态编程，或递归加记忆，非常适合于此；您可以直接应用上述递归关系

请注意，K永远不会改变，因此不需要数组维度；而N只通过添加或减去K的整数倍来改变，因此最好使用数组索引N，使N=（N0%K）+nK

---

此外，请注意，M在每一轮中正好减少1，因此如果您使用动态规划方法，并且您只需要最终概率，那么您不需要保留M的所有值的概率；相反，在为给定的M值构建数组时，您只需要保留M的数组−1.

我对动态规划非常陌生，你能告诉我如何编写这方面的代码吗？+感谢你为编写这些答案付出的所有努力，这是一个巨大的挑战。有和O（logM）吗可能的解决方案？就像非常快速的解决方案。你说，两者中的较大者，但我如何知道哪一个更大？有没有可能的非dp解决方案？我如何知道“X”的值？