Algorithm 具有相依指数的三重嵌套大O

我正在寻找这个问题的大O，而我在第三个嵌套循环中遇到了困难。这是密码

for (int i = 1 to n)
  for (int j = i to n)
    for (int k = j*j to n)
      //some constant operation

i forloop显然是O（n）

正循环的j为（n+n-1+n-2+…+2+1）=（n-1）n/2=O（n^2）

但是我不确定如何考虑K-FoLoo.我知道对于j（1到n）的一个完整循环，求和是（n+n-4+n-6+…）=sum_{k=1}^n（n-k^2），但我不确定从那里开始

---

任何关于如何进行的建议都将非常好

当

j

大于sqrt（n）时，不进入内部循环。当

i

大于sqrt（n）时也是如此，因为

j

从

i

开始

因此，我们可以将已完成的工作分为两种情况：

• 在迭代中，

  i

  和/或

  j

  大于

  sqrt（n）

  ：不进入

  k

  循环，并且不难证明外部两个循环的时间复杂度为θ（n^2）
• 在

  i

  和

  j

  都小于

  sqrt（n）

  的迭代中：前两个循环每次运行

  sqrt（n）

  次，最后一个循环运行n次，因此总迭代次数的上限为

  O（sqrt（n）*sqrt（n）*n）=O（n^2）

---

在这两种情况下，上界都是O（n^2），第一种情况表明它也是一个下界。因此，总时间复杂度为θ（n^2）。

我认为您建议的总和是错误的。你说它应该是

（n+（n-4）+（n-6）+……

，但它应该是

（n-9）

，而不是

（n-6）

。提示：你能降低

j

循环的上限而不改变由此产生的大O复杂度吗？这似乎是有道理的，但是当运行一个程序来测试我在k循环中的次数时，我得到的东西远远低于理论极限。例如，我得到了一个数量级较低的计划与理论。可以吗？为什么会发生这种情况？@GentleSaint次数并不意味着什么，因为在大O中有一个常数因子。但是如果你取一个大n，检查n和2n的迭代次数，你应该看到它大约是2n的4倍。是的，这更有意义。非常感谢你！第三个循环正好运行

1*（n-1*1+1）+2*（n-2*2+1）+3*（n-3*3+1）+……+楼层（sqrt（i））*（n-i*i+1）

次，小于第二个循环运行的次数。