Algorithm 鲁棒多边形法线计算

是否有一个好的鲁棒算法来计算凸多边形的法向量（当然是在3D中）？对于三角形，这很简单：取三角形的两条边并计算叉积：

vec3 u = point[0] - point[1], v = point[0] - point[2];
vec3 n = normalize(cross(u, v));

但这种方法并不能很好地扩展到多边形。多边形的某些边可以近似或“完全”共线（这通常发生在删除T形连接的网格中），因此有必要选择一对边，以提供“强”法线（两条边都“足够长”，并且它们保持“几乎垂直”的角度）

不过，这种方法仍然不能适用于所有多边形。想象一个圆盘形状的多边形。如果细分得非常精细，则所有边都将非常短，且所有连续边几乎共线，而与圆盘的半径无关。同时，法线的定义非常明确

一种解决方案是找到最大的内接三角形，并计算其法线。然而，找到它将具有复杂度

O（n^2）

，这似乎令人望而却步

一个更好的解决方案是使用奇异值分解或特征值分解来计算法线，给定所有多边形点，而不仅仅是三个或四个

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有标准的算法吗？任何人都有这样做的好方法吗？

如果你将三角形的公式分解，你会得到以下结果：

n ~ (p1 - p0) x (p2 - p0)
  = p0 x p1 + p1 x p2 + p2 x p0

可以将此公式推广到任意多边形：

n ~ p0 x p1 + p1 x p2 + ... + pn x p0

所以求连续边的叉积和。这是一种稳健的算法，适用于非平面多边形

如果可以确定多边形是平面的，我将执行以下操作（以节省计算时间）：

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您可以放弃具有

长度的任何法线。您可以计算多边形所有点的协方差矩阵（对于三维空间，协方差矩阵为3x3）。多边形的法线将是对应于最小特征值的特征向量。
从任意顶点开始（称为顶点A），然后移动到列表中的下一个顶点（称为顶点B）。计算AB向量的垂直向量（称为向量P）。然后继续在顶点列表中迭代，以找到与向量AB垂直距离最远的顶点。因此，在每次迭代中，取当前元素（以顶点B为原点）与向量P的点积，并取在大小上结果最大的点积（取绝对值）并称之为C。计算A，B，C向量的叉积

如果多边形是凸的，则可以停止迭代，直到垂直距离开始增加
在数量上变小

我提出了这个想法，我不知道这个方法的效率有多高，因为我不知道其他算法可以与之相比。
您考虑过光盘示例吗？我不认为它非常健壮，因为连续边的叉积在这里相当小。但另外，谢谢，我想这在大多数情况下都会更好。稳健性来自求和。而且，使用ε可以保证方法在数值上不稳健性。考虑有一个有窄多边形的网格。如果阈值较高，则这些多边形将没有法线。如果它太低，该算法可能会接受稍微非平面的边或其他次优的边对，即使在法线定义良好的多边形上也会产生不精确的法线。这也被称为Newell方法（）。@Lenny:各个和数不相等，但是，和数不相等。如果我们看一下x分量，纽厄尔方法的扩展公式是：
nx+=cur.y*next.z-next.y*cur.z-next.y*cur.z-next.y*next.z+cur.y*cur.z
。前两个总和来自叉积。最后两个是附加的。因此，每个顶点为自身添加
y*z
，为下一个顶点减去
y*z
。如果你对所有顶点都这样做，附加的项就会被抵消，得到叉积之和。你知道如何确定法线方向吗？因为在计算协方差矩阵时，顶点的顺序丢失了。显然，可以使用叉积计算不太精确的法线，并将精确法线翻转到更相似的方向。你能想出一个更优雅的解决方案吗？你是对的，协方差矩阵将失去连通性，因此法向量可能有一个正号或负号，这取决于你的约定。对不起，我不知道有什么简单的办法，那就是你提议的那个办法，来得到这个标志。与其他方法相比，该方法非常稳健，但成本昂贵。你无法真正计算3-空间中的一个垂直向量。其中有无限多个向量，即使你将自己限制为单位长度向量。可以计算从一点到通过两点的直线的距离（AB）。你可以选择这样的C，它是距离AB的最大距离。这与选择不同的ABC并根据它们的叉积的范数对它们进行评分非常相似。在我的解决方案中，我假设多边形是一个平面，所有的点都是共面的。这有点像是鸡和蛋的问题。你需要先知道那架飞机，才能得分。但是你正在得分，这样你就可以计算出这个平面。我认为那不行。
Repeat k times
    Pick 3 random polygon vertices
    Calculate the normal of the according triangle
Choose the longest normal as the polygon's normal.