Algorithm 了解这两种缩放特性之间的差异

我需要帮助理解一本关于算法的书中的以下段落-

自然组合问题的搜索空间趋于增长 以指数形式表示输入的大小N；如果输入大小增加 通过1，可能性的数量成倍增加。我们会 像一个好的算法，对于这样的问题要有更好的伸缩性 属性：当输入大小增加一个常数因子时，例如 因子2-算法应该只慢一些常数 因子C

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我真的不明白为什么一个比另一个好。如果有人能提出任何例子来帮助我理解，那就非常感谢了。

让我们考虑下面的问题：你得到了一个数字列表，你想找到那个列表中最长的子序列，其中的数字是按顺序排列的。例如，给定序列

2  7  1  8  3  9  4  5  0  6

您可以按如下方式形成子序列[2,7,8,9]：

2  7  1  8  3  9  4  5  0  6
^  ^     ^     ^

但这里还有一个更长的[1,3,4,5,6]可供选择：

2  7  1  8  3  9  4  5  0  6
      ^     ^     ^  ^     ^

我相信，这恰好是按递增顺序排列的最长子序列，不过如果我弄错了，请告诉我

现在我们有了这个问题，在一般情况下，如果你有一个n个数字的列表，我们将如何解决这个问题？让我们从一个不太好的选择开始。一种可能是列出原始数字列表的所有子序列，然后过滤掉所有不按递增顺序排列的数字，然后从我们找到的所有数字中选出最长的一个。例如，给出以下简短列表：

2  7  1  8

我们将形成所有可能的子序列，如下所示：

• []
• [8]
• [1]
• [1,8]
• [7]
• [7,8]
• [7,1]
• [7,1,8]
• [2]
• [2,8]
• [2,1]
• [2,1,8]
• [2,7]
• [2,7,8]
• [2,7,1]
• [2,7,1,8]

哎呀，那张单子挺长的。但是通过观察它，我们可以看到最长的递增子序列的长度为2，我们可以选择很多种

现在，当我们的输入列表越来越长时，它的伸缩性如何？这里有一些需要思考的事情-这个新列表有多少子序列，我通过在现有列表的末尾添加3来完成

2  7  1  8  3

每个现有的子序列在这里仍然是一个完全有效的子序列。但除此之外，我们还可以形成一系列新的子序列。事实上，我们可以取任何现有的子序列，然后在它的末尾加上一个3。这意味着，如果长度为4的列表有S子序列，那么长度为5的列表将有2S子序列

更一般地说，您可以看到，如果您获取一个列表并在其末尾再添加一个元素，那么可用子序列的数量将增加一倍。这是一个数学事实，它本身既不好也不坏，但如果我们列出所有这些子序列，并检查它们中的每一个，看看它们是否有一些属性，我们将遇到麻烦，因为这意味着将有大量子序列。我们已经看到四元素列表有16个子序列。这意味着五元素列表有32个子序列，六元素列表有64个子序列，更一般地说，n元素列表有2n个子序列

有了这样的洞察力，让我们快速计算一下。我们需要检查多少子序列，比如说，是否有一个300元素的列表？我们可能要检查2300个，这个数字比可观测宇宙中的原子数量还要大！哎呀。这需要比我们更多的时间

另一方面，有一个漂亮的算法叫做，它总是能找到最长的递增子序列，而且很容易找到。你可以通过玩一个小游戏来做到这一点。您将把列表中的每一项放在许多堆中的一堆中。要确定要拾取的桩，请查找顶部编号大于相关编号的第一个桩，并将其放置在顶部。如果用这种方法找不到一堆，请将数字放在最右边自己的一堆中

例如，给定此原始列表：

2  7  1  8  3  9  4  5  0  6

在玩完游戏后，我们将得到以下几堆：

0
1    3    4    5
2    7    8    9    6

这里有一个惊人的事实：使用的桩的数量等于最长的递增子序列的长度。此外，您可以通过以下方式找到子序列：每次在桩顶部放置数字时，记下桩左侧顶部的数字。如果我们用上面的数字来做这件事，我们会发现：；括号中的数字告诉我们，当我们放下数字时，左边堆栈的顶部是什么：

0
1     3 (1)    4 (3)    5 (4)
2     7 (2)    8 (7)    9 (8)    6 (5)

要找到我们想要的子序列，从最左边的堆的顶部开始。把这个数字写下来，然后在括号里找到这个数字，然后重复这个过程。在这里这样做会得到6，5，4，3，1，如果反转，它就是1，3，4，5，6，最长的递增子序列！（哇！）

所以现在的问题是这个过程有多快。把第一个数字放下来需要一个单位的工作——只需把它放在自己的堆里。将第二个数字放下来最多需要两个工作单元——我们必须查看第一堆的顶部，并有选择地将数字放在第二堆中。放置第三个数字最多需要三个工作单元-我们必须查看最多两堆，并可能将数字放置到其自己的第三堆中。更一般地说，放下第k个数字需要k个工作单位。总的来说，这意味着我们正在做的工作大致上是

1+2+3+…+n

如果我们有n个元素。这是一个著名的和，叫做高斯和，它简化为n2/2。所以我们可以说，我们需要做大约2/2单位的功来解决这个问题