Algorithm 这个乘法算法的递推方程是什么？

乘法算法用于将两个基数r数相乘：

0 <= x,y < r^n
x = x1 * r^(n/2) + x0
y = y1 * r^(n/2) + y0

所以我们现在有四个半位数的乘法（我们最初有一个n位数的乘法，现在有四个

n/2

位数的乘法）

在我看来，这种算法的重现性是：

T(n) = O(1) + 4*T(n/2)

但显然它是

T（n）=O（n）+3T（n/2）

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无论哪种方式，解决方案都是

T（n）=O（n^2）

，我可以看到这一点，但我想知道为什么有一个O（n）项而不是

O（1）

项？你是对的，如果你天真地计算术语

x0*y1+x1*y0

，用两个乘积，时间复杂度是二次的。这是因为我们做了四个产品，正如您所建议的那样，重复性是，

T（n）=O（n）+4T（n/2）

，它解决了

O（n^2）

然而，Karatsuba观察到

xy=z2*r^n+z1*r^（n/2）+z0

，其中我们让

z2=x1*y2

，

z0=x0*y0

，和

z1=x0*y1+x1*y0

，最后一个术语可以表示为

z1=（x1+x0）（y1+y0）-z2-z0

，它只涉及一种产品。使用这个技巧，循环确实会变成

T（n）=O（n）+3T（n/2）

，因为我们总共做了三个产品（而不是四个，如果不使用这个技巧）

因为数字的顺序是

r^n

，我们需要

n

数字来表示数字（通常，对于固定的

r>=2

，我们需要

O（logn）

数字来表示数字

n

）。要添加该顺序的两个数字，您需要“触摸”所有数字。因为有

n

个数字，所以您需要

O（n）

（正式地说，我会说

Omega（n）

，意思是“至少有

n

个时间的顺序”，但让我们把细节放在一边）时间来计算它们的总和

例如，当计算乘积

N*M

时，位数

N

将

max（log N，log M）

（假设基数

r>=2

为常数）

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代数技巧在维基页面上有更详细的解释。

它看起来很像Karatsuba（）。我现在在火车上，即将失去互联网连接；如果问题在两小时后才开始，我会着手解决的是的，动机是Karatsuba，它将乘法次数从四次减少到三次。我只是不确定划分问题和合并解决方案的操作的时间复杂度是多少，这似乎是O（n）。我想知道为什么。

T(n) = O(1) + 4*T(n/2)