Algorithm 竞赛图

竞赛是一个有向图（有向图），通过为无向完全图中的每条边指定方向而获得。也就是说，它是一个有向图，其中每对顶点由一条有向边连接

数据结构是邻接矩阵

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有什么算法可以确定该图是否为竞赛图？

编辑：遗漏了该图的完整部分

如果

M

是您的邻接矩阵，

Mt

是转置矩阵，

~M

是所有“位”都已反转的矩阵，

A^B

是两个矩阵之间的逐位异或

那么矩阵就是一个竞赛iff：

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~（M^Mt）=I

邻接矩阵中有n^2个条目，您需要所有条目中的信息来解决问题。（您需要1来检查是否存在正确的边，0来检查后边是否不存在。）因此，由于您必须从矩阵中读取至少N^2个条目，因此整个问题必须花费至少O（N^2）个时间

关于BFS搜索尝试：如果您的遍历需要O（n^2）——由于需要在邻接矩阵中查找边，它将需要O（n^2）——那么不管后缘检查是否为常数时间，总体算法仍然是O（n^2）

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另一种看待这个问题的方法是：由于边的数量等于可能的顶点对的数量，因此将有n*（n-1）/2条边，即O（n^2）。你的遍历是O（V+E），因此是O（n+n^2），因此是O（n^2）

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由于此算法的最佳情况时间为O（n^2），您不妨简单地循环通过矩阵的右上半部分（对角线上方），并检查每个条目，a）为1，或b）其转置等价物为1。

要添加到tonfa的注释中：

简介：算法“针对每个i≠ j、 检查（i，j）和（j，i）中的一个是否在图中“是渐近最优的”

更多详情： 仅仅读入邻接矩阵需要花费Ω（n2）的时间。所以在o（n2）时间内没有办法解决这个问题。但是让我们忽略输入

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假设矩阵已经在内存中。为了确保图形的无向版本是完整的，您必须以某种方式确定，对于每个i≠ j、 图中至少有一条边（i，j）和（j，i）。由于您只有邻接图，这意味着您必须在某个点上为每个i访问（i，j）或（j，i）中的至少一个≠ J没有其他方法可以保证完整性。验证这一点需要n（n+1）/2=O（n2）个步骤。

这听起来像是一个家庭作业问题。也许你可以详细阐述你自己关于这个问题的想法，我们可以在你遇到困难的地方帮助你？只有当每个节点都可以从你的起始节点到达时，这种保证才是正确的——这里不一定是这样（设想一个简单的例子，连接到所选起始节点的所有边都指向它，而不是远离它）。此外，@unknown：请记住，这里的数据结构是一个邻接矩阵；查找节点的边需要O（n）个时间。因此，仅遍历图仍然需要O（n^2）时间。是的。但是如果你的遍历需要O（n^2）——因为需要在邻接矩阵中查找边，所以需要O（n^2）——那么不管后缘检查是不是常数时间，整个算法仍然是O（n^2）。还有另一种方法来看待这个问题：因为边的数量等于可能的顶点对的数量，所以会有n*（n-1）/2条边，这就是O（n^2）。你的遍历是O（V+E），因此是O（n+n^2），因此是O（n^2）。这实际上并不能保证所有的顶点对都是连接的。Foreach？你不能做Foreach，它将是O（n^2）。每条边的点是什么？我会检查我访问过的每条边。如果你唯一的数据结构是邻接矩阵，我想它只能是O（n**2）。如何？有向图的邻接矩阵（不带边权重）有

O（|V | ^2）

布尔单元格，其中

|V |

是图形中的顶点数。无论图形是空闲的还是密集的，都必须检查

O（|V | ^2）

matrix单元格，以便访问每一条可能的边。实际上，要证明tonfa是正确的，这是一个相当简单的心理练习：邻接矩阵中有n^2个条目，您需要所有条目中的信息来解决问题。（您需要1来检查是否存在正确的边，0来检查后边是否不存在。）因此，由于您必须从矩阵中读取至少N^2个条目，整个问题必须至少花费O（N^2）时间。“更多详细信息：仅读取邻接矩阵需要O（n2）时间。所以没有办法在o（n2）时间内解决这个问题。“不是真的。可能有多个组件需要o（n^2）时间，结果仍然是o（n^2）。请记住，o（）表示法是基于顺序的，不是时间的实际函数。