Algorithm 斐波那契数的幂和？

如何求这个级数的和

fib(0)^K + fib(C)^K + fib(2*C)^K + fib(3*C)^K + ... + fib(N*C)^K

其中约束为

0

，

0

和

0

---

这里

fib（i）

是第i个fibonacci数，其中

fib（0）=0

，

fib（1）=1

和

fib（n）=fib（n-1）+fib（n-2）

。我们必须计算求和模100000007（10^9+7）。

这基本上是一个处理递归关系的练习。要理解这个答案，您应该能够自如地在矩阵和系统形式之间切换

首先，我们得到了fib（i）^K的一个递归。这实际上涉及到一个系统的复发

fib（i）^K，fib（i）^（K-1）fib（i-1），fib（i）^（K-2）fib（i-1）^2，…，fib（i-1）^K

。我将为

K=3

演示

fib(i)^3 = (fib(i-1) + fib(i-2))^3
         = fib(i-1)^3 + 3 fib(i-1)^2 fib(i-2) + 3 fib(i-1) fib(i-2)^2 + fib(i-2)^3
fib(i)^2 fib(i-1) = (fib(i-1) + fib(i-2))^2 fib(i-1)
                  = fib(i-1)^3 + 2 fib(i-1)^2 fib(i-2) + fib(i-1) fib(i-2)^2
fib(i) fib(i-1)^2 = (fib(i-1) + fib(i-2)) fib(i-1)^2
                  = fib(i-1)^3 + fib(i-1)^2 fib(i-2)
fib(i-1)^3 = fib(i-1)^3

这些可以组合成一个矩阵

[fib(i)^3    fib(i)^2 fib(i-1)    fib(i) fib(i-1)^2    fib(i-1)^3] =
                                                                           i
= [fib(0)^3    fib(0)^2 fib(-1)    fib(0) fib(-1)^2    fib(-1)^3] [1 0 0 0]
                                                                  [3 1 0 0]
                                                                  [3 2 1 0]
                                                                  [1 1 1 1]
                     i
= [0 0 0 1] [1 0 0 0]
            [3 1 0 0]
            [3 2 1 0]
            [1 1 1 1]

你可以认出那边的帕斯卡三角形

现在，给定一个函数

f（i）

的递归系统，我们可以通过将矩阵提升到幂

c

来计算

f（ci）

的递归

最后一步是从

f（i）

的重复到

f（i）=f（0）+f（1）+……+f（i-1）

。添加一个方程式很简单

F(i) = F(i-1) + f(i-1)

与系统的连接

---

计算完矩阵后，根据我的估计，该矩阵最多包含

12^2=144

个元素，我们可以使用快速矩阵求幂mod

10^9+7

计算适当的幂。注意隐藏的一个错误–这就是你想要的

F（n+1）

。

这个问题可能更适合，因为这个问题可能需要更深入地理解斐波那契级数、幂和等，而不是算法。可能会让你走上正确的方向，尽管这只是针对

K=2

和

C=1

…如何定义

fib（i）

？它是第i个斐巴诺契数吗？它是比我小的最接近的Fibanocci数吗？如果是前者，我怀疑

N

的约束是否合理。这听起来像是在HackerRank或类似网站上找到的东西。你能分享原始问题的链接吗？欢迎使用堆栈溢出！请告诉我们你试过什么。这是你的问题。