Algorithm 组合向量加法最小化问题

我正在研究一个问题，感觉它可能类似于数学规划中的一个现有问题，但我很难找到任何这样的问题

问题是这样的：我们有n组d维向量，每一组向量正好包含d+1个向量。在每个集合中，所有向量都具有相同的长度（此外，集合中任意两个向量之间的角度对于任何集合都是相同的，但我不确定这是否相关）。然后我们需要从每个集合中选择一个向量，并计算这些向量的和。我们的目标是做出选择，使向量之和最小化

感觉这个问题有点像最短向量问题，或者是作业调度的一种变体，在一台机器上调度一个作业会影响所有机器，或者是一个分区问题

这个问题有什么意义吗？具体来说，我正在寻找解决这个问题的研究，因为目前我的最佳选择是使用ILP，但我觉得一定有更聪明的方法可以做到。

我认为这是一个MIQP（混合整数二次规划）或MISOCP（混合整数二阶锥）问题：

让

那么问题可以表述为：

 min ||w||
 sum(i, x(i,j)) = 1   for all j
 w = sum((i,j), x(i,j)*v(i,j))

如果需要，您可以替换掉

w

。事实上，我没有使用角度限制（这是对数据的限制，而不是对模型的决策变量的限制）。选择

x

变量，以便我们从每组中恰好选择一个向量

最小化2-范数可以通过最小化元素的平方和（即最小化范数的平方）来代替

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假设2-范数，这是一个MISOCP问题或凸MIQP问题，有很多解算器可用。对于1-范数和无穷范数，我们可以建立一个线性MIP问题。MIP解算器广泛可用。

每个向量中项目的范围和类型是什么？向量由实数组成，没有给出有限的范围。但如果限制条目的范围或类型允许我有兴趣知道一个解决方案，你确定每个集合都有d+1向量吗？最后但并非最不重要的是：我猜当你说求和必须最小化时，你的意思是得到的向量的欧几里德范数（分量平方和的平方根）必须最小化，对吗？@WalterTross观察从四面体中心到面中心的向量。这就得到了3D中的4个向量，任意两个向量之间的角度都是完全相同的。另外，ILP可能意味着这是一种在实践中解决各种NP完全问题的标准方法。感谢您的回复。我不熟悉MISOCP，与MIQP问题相比，以这种方式建模问题有什么好处？在大多数情况下，QP会在适当时自动转换为SOCP。因此，在建模级别，您可以只提供（MI）QP。SOCP是一类更一般的问题，与使用更传统的QP方法相比，QP作为SOCP可以更有效地解决。我刚才在回答中提到了MISOCP，以确保将它们作为解决问题的合适技术。

 min ||w||
 sum(i, x(i,j)) = 1   for all j
 w = sum((i,j), x(i,j)*v(i,j))