Algorithm 两类代价有向无环图的最短路径

我得到了一个有向无环图G=（V，E），可以假设它是拓扑有序的（如果需要的话）。G中的边缘有两种类型的成本——名义成本w（e）和峰值成本p（e）

目标是找到从节点s到节点t的最短路径，从而最小化以下成本： sum_e（w（e））+max_e（p（e）），其中sum和max在路径中的所有边上

标准的动态规划方法表明该问题在O（E^2）时间内是可解的。有没有更有效的方法来解决这个问题？理想情况下，一个O（E*polylog（E，V））算法会很好

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这是我用动态规划找到的O（E^2）解

首先，按升序排列所有成本p（e）。这需要O（Elog（E））时间

其次，定义由状态（x，i）组成的状态空间，其中x是图中的节点，i在1,2，…，E中。它表示“我们在节点x中，到目前为止我们看到的最大边权重p（e）是第i个最大值”

设V（x，i）是从s到x的最短路径（在经典意义上）的长度，其中遇到的最大p（e）是第i个最大路径。很容易计算V（x，i）的x（y，j），对于x的任何前任y和1中的j，…（e）（有两种情况要考虑-边缘y -x x是第j个最大的权重，或者它没有）。

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在每个状态（x，i），此计算会找到约deg（x）值的最小值。因此，复杂性是O（| E |*sum(x\in V）deg（x））=O（| E | ^2），因为每个节点都与不同的状态相关联。

这只是一个2-近似，不是一个近似方案，但也许它会激励人们想出一个更好的答案

使用二进制搜索，找到最小峰值成本θ*，使得C（θ）是使用具有峰值成本的边的s-t路径的最小标称成本≤ θ、 我们有C（θ*）=θ*。每个解的名义成本或峰值成本至少与θ*一样大，因此θ*导致2-近似解

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二进制搜索中的每个测试都涉及在具有峰值成本的子集上运行Dijkstra≤ θ、 因此，这个算法需要时间O（| E | log2 | E |），好吧，如果你想对它有技术性并使用斐波那契堆，O（| E |+| V | log | V |）log | E |）。

我看不到任何方法来获得你想要的复杂性。这是一个我认为在现实生活中实用的算法

首先，将图简化为只有s和t之间的顶点和边，并进行拓扑排序，以便可以轻松地在O（E）时间内找到最短路径

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假设W（m）是路径的最小和（W（e））代价max（p（e））我不确定标准的DP方法在这里是如何工作的，因为我不清楚这个问题是否具有最优子结构。你能详细说明一下吗？是的，首先你按升序订购成本p（e）。现在，考虑状态空间（x，i），其中x是图中的一个节点，而i是1到e e之间的一个数。它表示“我们在节点x中，到目前为止我们看到的最大边权重p（e）是第i个最大值”。相应的动态规划函数V（x，i）表示从节点s到节点t的最短路径，其中最大p（e）代价是第i最高的。你按照预期推进它，从V（t，i）很容易计算出解决问题的路径。此外，这是问题的重要部分，请将你的解决方案添加到问题本身，它属于那里。在阅读了问题和上面的所有评论之后，我仍然怀疑：这里的目的是什么？是否要在所有成本最低的路径中找到分支数最少的路径？是否需要确切的答案？根据递减最短路径文献判断，可能更容易找到有效的近似方案。请注意，这基本上扩展了@davidisenstat以降低误差容差。该图是DAG，因此不必使用Dijkstra的。。。也许有一个DAG会建议一个更好的算法，因为你对这方面的文献很熟悉。@MattTimmermans很遗憾，所有可能足够快的文献都是针对无向图的。