Algorithm 动态规划：寻找最大三角形

我需要用动态规划在一个由0和1组成的矩阵中找到最大的三角形。如果这是我的矩阵：

 1 0 0 1 1
 0 1 1 1 1
 0 1 1 1 0
 1 1 1 1 1
 1 1 0 0 1

然后有两个最大的三角形，其右角位于[2,2]和[4,4]。我只需要寻找正确的等腰三角形（角度为90◦, 45◦, 45◦) 我只需要看一个方向，因为所有其他方向都是对称的。所以基本上我需要一个函数，它接受矩阵并返回一个三角形，三角形是一个对象。我不需要完整的代码。伪代码对我来说也很好

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首先，我想在这里使用平方算法：，当你找到最大的平方，那么最大的三角形一定在那里。但是我可以很容易地找到反例，在这不起作用的地方。在那之后，我试着看上面的单元格，用动态规划来计算，但我不确定下一步该怎么做…所以我的计数在上面的矩阵中，将如下所示：

1 0 0 1 1
0 1 1 2 2
0 2 2 3 0
1 3 3 4 1
2 4 0 0 2

我想我们必须以某种方式使用它

更新：

我想我现在非常接近了，当你遍历矩阵n*m，并使count[I][j]=1+min（count[I-1][j]，count[I][j-1]），那么看看左边和上面的单元格。我们得到：

1 0 0 1 1
0 1 1 2 2
0 1 2 3 0
1 2 3 4 1
1 2 0 0 1

这对我来说很好，你可以看到[4,4]解的右角在哪里。有人能想出任何反例吗？我只需要返回一个解，所以返回这个解就可以了

更新2: 我找到了一个反例，让位置[4,4]为0，我们得到以下矩阵：

 1 0 0 1 1
 0 1 1 1 1
 0 1 1 1 0
 1 1 1 0 1
 1 1 0 0 1

遍历矩阵后，计数将如下所示：

1 0 0 1 1
0 1 1 2 2
0 1 2 3 0
1 2 3 0 1
1 2 0 0 1

现在它将返回带有右角[3,4]（第三行第四列）的三角形，这是不正确的，它应该找到[2,2]。因此我认为可能只是从左上角（我们到目前为止所做的）和右下角开始，并从中取最大值。因此，右下角的计数将如下所示（查看下方和右侧的单元格）：

现在我们确实找到了[2,2]的解，所以我认为使用这些方法可以得到解，有人能想出更好的解或反例吗

更新3: kraskevich让我意识到，我们必须使用这个算法四次。从左上角，右上角，左下角，右下角，然后取最大值，因为这样你就得到了所有的可能性。有谁有更好的方法来做到这一点吗？这个算法正确吗？（因此，相同的算法只有四倍，矩阵中只有另一个起点）

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另外，对于那些不了解我在做什么的人（我可能会走得有点快），请再看一看：这种方法非常相似，并且很好地解释了所做的事情。

免责声明：

我没有仅仅重申OP正在做什么，事实上，我们更新计数的方式是不同的

我同意我应该详细说明解决方案中所述算法有效的原因，因此我编辑了我的答案，以包括我所写方法的关键思想（观察部分）

在我发布我的解决方案时，我完全不知道OP的方法（参见），因此实际上我甚至没有尝试重申OP正在做什么。我只是希望对解决问题的方法给出一个正式的描述

起初，我一直试图避免发布正式的数学正确性证明（因为Stackoverflow主要用于编码），并且我相信从我编写解决方案的方式来看，应该很明显，正确性可以直接从归纳中得出。尽管如此，根据OP的要求，我已经在我的最新更新中包含了完整性证明

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解决方案

你可以使用与你所引用的帖子类似的方法。为了简单起见，我们只考虑在讨论的左上角找到直角三角形。它应该是直截了当的，以概括我们对其他情况的方法。

我们定义了一个与输入矩阵大小相同的矩阵

D

，并将其所有条目初始化为

0

。我们希望使用

D[i][j]

来表示在

（i，j）

处转弯的最大三角形（左上角为直角）的大小

我们的方法基于以下观察结果：

对于在

（i，j）

处大小为

n

的三角形，有必要在

（i+1，j）

和

（i，j+1）

处都有大小为（至少）

n-1的三角形

我们可以利用这一事实，使用自下而上的方法计算
D
。我们将通过多次迭代计算
D
，其中在
n
第次迭代后，我们将找到大小为
n
的所有三角形。我们将根据以下规则更新
D
：

在第一步中，如果输入矩阵在
（i，j）
处有
1
，我们将
D[i][j]=1

在
n
-th过程中，对于
D
中值
n-1
的每个条目（假设该条目位于
（i，j）
，我们检查
D[i+1][j]
和
D[i][j+1][/code>是否都等于
n-1
，如果是，我们设置
D[i][j]=n

当遇到没有更新
D
项的过程时，我们终止算法

备注：
n
-第次过程实际上找到了大小为
n
的三角形的所有位置，我们将使用此信息更新下一次过程，这是动态规划中的关键思想-我们找到了较小子问题的解，并将使用它帮助解决较大尺寸的问题

最大三角形的大小（以及它的位置）可以在b中找到
1 0 0 2 1
0 4 3 2 1
0 3 2 1 0
2 2 1 1 1
1 1 0 0 1

function solve() {
    var row, col;
    var i = 0;
    var n;
    var here,above;
    for (row = 1 ; row < SIZE ; row++) {
        n = grid[0 + SIZE * row];
        for (col = 1 ; col < SIZE ; col++) {
            here = grid[col + SIZE * row];
            if (here > 0) {
                if (n > 0) {
                    above = grid[col + SIZE * (row - 1)];
                    grid[col + SIZE * row] = 1 + Math.min(n, above);
                }
                n++;
            } else {
                n = 0;
            }
        }
    }
}