Algorithm 带乘法器的动态规划板

我遇到了相当标准的DP问题-电路板

n

x

n

带有整数，都是正数。我想从第一行的某个地方开始，在最后一行的某个地方结束，然后尽可能多地积累。从字段

（i，j）

我可以转到字段

（i+1，j-1）

，

（i+1，j）

，

（i+1，j+1）

。 这是相当标准的DP问题。但是我们加了一件事——字段上可以有一个星号，而不是数字。如果我们遇到星号，那么我们从中得到了

0

点，但我们将乘数增加了

1

。我们稍后在遍历过程中收集的所有数字都将乘以

乘数

。 我不知道如何用那个乘法器来解决这个问题。我假设这仍然是一个DP问题，但是如何得到正确的方程呢

---

感谢您的帮助。

您仍然可以使用DP，但您必须跟踪两个值：“基本”值，即不使用任何乘数的值，以及“有效”值，即使用乘数的值。从上一行到最后一行开始，在网格中向后移动，然后获取该行中的三个“相邻”单元格（路径上可能的“下一个”单元格），然后只选择值最高的单元格

如果当前单元格是

*

，则得到

base+effective

最大的单元格，否则只得到

effective

得分最高的单元格

下面是Python中的一个示例实现。请注意，我不是使用

*

而是使用

0

作为乘法器，我是按顺序而不是反向循环网格，因为这样更方便

随机导入
尺寸=5
grid=[[random.randint（0,5）表示范围内（大小）]表示范围内（大小）]
打印（*网格，sep=“\n”）
#第一个值是基础分数，第二个值是有效分数（带乘数）
解决方案=[[（x，x）用于行中的x]用于网格中的行]
对于范围内的i（1，尺寸）：
对于范围内的k（尺寸）：
#前一行中的2或3个值
上一个值=溶液[i-1][max（0，k-1）：k+2]
val=网格[i][k]
如果val==0：
#倍增
基数，mult=max（上一个值，key=lambda t:t[0]+t[1]）
解决方案[i][k]=（基本、基本+多）
其他：
#加
基数，mult=max（上一个值，key=lambda t:t[1]）
解决方案[i][k]=（val+base，val+mult）
打印（*解决方案，sep=“\n”）
打印（最大值（解决方案[-1]，密钥=λt:t[1]））

示例：随机5x5网格，其

0

对应于

*

：

[4, 4, 1, 2, 1]
[2, 0, 3, 2, 0]
[5, 1, 3, 4, 5]
[0, 0, 2, 4, 1]
[1, 0, 5, 2, 0]

最终的

解决方案

网格，包含基本值和有效值：

[( 4,  4), ( 4,  4), ( 1,  1), ( 2,  2), ( 1,  1)]
[( 6,  6), ( 4,  8), ( 7,  7), ( 4,  4), ( 2,  4)]
[( 9, 13), ( 5,  9), ( 7, 11), (11, 11), ( 9,  9)]
[( 9, 22), ( 9, 22), ( 9, 13), (11, 15), (12, 12)]
[(10, 23), ( 9, 31), (14, 27), (13, 17), (11, 26)]

---

因此，该网格的最佳解决方案是来自

（9,31）

的

31

。通过网格

解决方案
网格向后工作，这对应于路径
0-0-5-0-4
，即
3*5+4*4=31
，因为
5
之前有2个
*
，而
4
之前有3个
*
，请花一些时间阅读，尤其是命名和。也请和。最后，请学习如何创建一个。因此，乘数只影响后面遇到的数字，这是正确的吗？那么，为什么不从最后一行开始，然后向后走呢？是的，以后再做。你应该发布一个（小）示例网格和该网格的最佳解决方案。我会建议继续遍历
（I，j，mult）
的三维空间，但这显然更好。（虽然我的版本要求不那么聪明。）@b我一点也不确定这在所有情况下都是正确的。如果你自己已经接近一个解决方案，请继续，让我们比较结果。我想有一个建议，乘数应该是乘的，而不是加法。说这个是基于这个问题的。@zenwraight好吧，它是乘以重复加法。请参见答案底部的示例。@tobias_k我还没有写任何代码。：-）但想法很简单。只需将数据保存在一个字典中，该字典的键是元组，其中既包括您所在的位置，也包括状态。那么，这是一个直截了当的前进。