Algorithm 有没有快速的方法来确定n^n上的前k位

我正在写一个程序，我只需要知道另一个大数字的前k（k可以是1-5）个数字，可以表示为n^n，其中n是一个非常大的数字

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目前，我实际上正在计算n^n，然后将其解析为字符串。我想知道是否有更好更快的方法存在

如果您指的是最低有效位或最右边的数字，这可以通过模乘实现。它是O（N）复杂度，不需要任何特殊的bignum数据类型

#include <cmath>
#include <cstdio>

//returns ((base ^ exponent) % mod)
int modularExponentiation(int base, int exponent, int mod){
    int result = 1;
    for(int i = 0; i < exponent; i++){
        result = (result * base) % mod;
    }
    return result;
}

int firstKDigitsOfNToThePowerOfN(int k, int n){
    return modularExponentiation(n, n, pow(10, k));
}

int main(){
    int n = 11;
    int result = firstKDigitsOfNToThePowerOfN(3, n);
    printf("%d", result); 
}

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有两种可能性

如果需要前k个前导数字（如：12345的前导数字为1），则可以使用以下事实：

n^n = 10^(n*Log10(n))

因此，您计算

n*Log10（n）

的分数部分

f

，然后

10^f

的前k位将是您的结果。如果使用双精度，在四舍五入错误开始出现之前，这适用于10^10左右的数字。例如，对于

n=2^20

，

f=0.57466709…

，

10^f=3.755494…

，所以前5位是37554。对于

n=4

，

f=0.4082…

，

10^f=2.56

，您的第一个数字是2

如果需要前k个尾随数字（如：12345的尾随数字是5），则可以使用模运算。我会使用平方技巧：

factor = n mod 10^k
result = 1
while (n != 0) 
    if (n is odd) then result = (result * factor) mod 10^k
    factor = (factor * factor) mod 10^k
    n >>= 1

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再以n=2^20为例，我们发现

result=88576

。对于n=4，我们有

因子=1,4,6

和

结果=1,1,6

，所以答案是6。

哪个数字是“第一位”？一位数？你能举例说明吗？是的。看看这个近似值……有一个算法可以进行任何幂运算：例如n=4k=1，那么答案是2,6（因为4^4=256）。无意冒犯，但你的幂运算算法效率有点低。。它可以从现在的O（exp）降到O（log（exp））。另外，

pow

返回浮点/双倍，也可以使用您自己的modexp，对吗？（只需将mod设置为1@harold，你是对的，我们可以做得比O（N）更好。我花了一段时间才记住a^（2C）=（a^C）^2，这为我们提供了一个很好的快捷方式。是的，现在看起来好多了，你也可以用一个简单的循环（如Jeffrey的答案）来计算前k个前导数字，这更清楚它说了什么。

n^n = 10^(n*Log10(n))

factor = n mod 10^k
result = 1
while (n != 0) 
    if (n is odd) then result = (result * factor) mod 10^k
    factor = (factor * factor) mod 10^k
    n >>= 1