Algorithm 这两个嵌套循环真的具有相同的二次时间复杂度吗？

下面是我提出的算法的一部分：

for (int i = 0; i < n - 1; i++)
   for (int j = i; j < n; j++)
      (...)

这就是我困惑的地方：

for (int i = 0; i < n; i++)
   for (int j = 0; j < n; j++)
      (...)

for（int i=0；i

第二个“双循环”的复杂度也为

O（n²）

，而在最坏的情况下，它显然比第一个好得多

我错过了什么？信息准确吗？有人能解释这种“现象”吗？

恒定因素

Big-O表示法忽略常量因子，因此即使第二个循环慢一个常量因子，它们也会以相同的时间复杂度结束

它告诉您可以选择任何旧的常数因子：

。。。当且仅当存在一个正常数M

这是因为我们想分析一个算法的增长率——常数因素只会使事情变得复杂，并且往往依赖于系统（操作在不同的机器上可能会因持续时间而异）

您可以只计算某些类型的操作，但问题是选择哪种操作，如果该操作在某些算法中不占主导地位怎么办。然后，您需要将操作彼此关联起来（以系统独立的方式，这可能是不可能的），或者您可以只为每个操作分配相同的权重，但这将是相当不准确的，因为某些操作将比其他操作花费更长的时间

说

O（15n²+568n+8logn+23sqrt（n）+17）

（例如）真的有多有用？而不仅仅是

O（n²）

---

（出于以下目的，假设

n>=2

）

注意，我们这里实际上有渐近更小的项（即，当我们接近无穷大时更小），但我们总是可以将其简化为常数因子的问题。（）

n（n+1）/2=n²/2+n/2
和
n²/2

在典型用法中，不使用O表示法的形式定义
直接的；相反，函数f的O表示法是由
以下简化规则：

如果f（x）是几个项的和，则
保留增长率最大的一个，忽略所有其他

Big-O仅用于给出渐近行为——一个比另一个快一点——它们都是O（N^2）
你也可以说第一个循环是O（N（N-1）/2。big-O的奇特数学定义如下：

如果存在常数c，n使得对于某些c和所有x>n，f（x）
这是一种奇特的说法，表示g是经过某个点的上界，应用了某个常数。然后得出O（n（n-1）/2）=O（（n^2-n）/2）是O（n^2）中的大O，这对于快速分析更为整洁
 
（n（n-1））/2
简化为
n²/2-n/2
。如果对
n
使用非常大的数字，
n/2
的增长率将与
n²
相比相形见绌，因此为了计算Big-O复杂性，您实际上忽略了它。同样，1/2的“常量”值不会随着
n
的增加而增加，因此您也会忽略这一点。这就给你留下了
n²

请记住，复杂性计算与“速度”不同。一种算法的速度可能比另一种算法慢五千倍，并且仍然具有较小的Big-O复杂度。但是当你把
n
增加到非常大的数字时，一般的模式就会出现，通常可以用简单的公式来分类：
1
，
logn
，
n
，
n²
，等等

有时，创建一个图形并查看显示的线类型会有所帮助：



尽管这两个图形的缩放因子非常不同，但您可以看到它生成的曲线类型几乎完全相同。
AFAIK，您的第二个代码片段

for(int i = 0; i < n; i++) <-- this loop goes for n times
     for(int j = 0; j < n; j++) <-- loop also goes for n times
          (...)

参见相关问题。@Paul I可以简化为常数因子的差。渐近
n²-n<2n²
。所以基本上，我没有理由在第二个
n^2
算法上使用第一个
n^2-n/2
算法？（因为它们是渐近相同的）@Werner：我在我的答案中添加了更多的信息。虽然这两个数字是渐近相同的，但这并不意味着速度上没有差异：这只是意味着当你得到更大的数字时，速度上的差异就不那么重要了：比如说第一个需要1000000秒才能运行，第二个只需要499500秒。第二种算法的速度是原来的两倍，但是有多少人愿意等5天让程序运行，谁不愿意等10天呢？要知道在实践中使用哪种算法，你需要比大O数更多的信息。我不得不说，如果有选择，没有人会等待x次，而他们只能等待~x/2次。。。所以big-O在帮助我决定使用这两种算法中的哪一种时不是一个有用的数字？它只适用于“彻底”不同操作系统（O（n）vs O（n^2））的算法，例如…？@Werner:我不在乎是否需要等待10微秒而不是5微秒来获得我需要的信息。这两种选择都足够快。同样，等待5天也太长了，即使备选方案是等待10天。（十秒钟对我来说通常太长了！）Big-O很有用，因为它有助于识别在更重要的大型数据集上渐近更快的算法。如果没有Big-O差异，一个算法可能仍然快得多，但这不太可能重要：要么给我找到在@Werner中运行的东西：所以在这种情况下，Big-O只在它告诉你如果N变得非常高，这两个算法都会非常慢的情况下才有用。如果您想知道哪一个速度更快，您很可能需要在真实数据集上测试它们。但那是真的
n(n+1)/2 = n²/2 + n/2
       and
n²/2 <= n²/2 + n/2 <= n²

for(int i = 0; i < n; i++) <-- this loop goes for n times
     for(int j = 0; j < n; j++) <-- loop also goes for n times
          (...)

O(n^2/2 - n/2) = O(n^2/2) (Ignoring the lower order n/2)
= O(1/2 * n^2)
= O(n^2) (Ignoring the constant factor 1/2)