Algorithm 从给定集合中寻找不相交集合的最大并集

我有多组（大约100个左右）从1到32不等的数字，每个数字不超过32项

例如：

[1,2]
[3,4]
[1,2,3]

我想做的是做一个算法来输出集合的最大并集，它们之间没有交集

示例的输出是

[[1,2]，[3,4]]

，它们之间没有任何交点，并且它们的并集大于集合

[[1,2,3]

我曾尝试寻找二部图与映射到数字的集合的最大匹配，但我立即感到困惑，因为问题不在于只找到一个匹配，而在于找到多个数字的集合

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似乎编写多项式时间复杂度的算法很难，任何时间复杂度不超过2^n的想法都会受到欢迎。

您描述的问题被称为NP难问题。因此，我们不知道这个问题的多项式时间算法，如果P≠ NP则不存在。

您所描述的问题称为NP，并且已知为NP难问题。因此，我们不知道这个问题的多项式时间算法，如果P≠ NP则不存在。

在{1..32}的100个随机子集的一般情况下，基本穷举搜索非常有效。子集的大小约为16，如果选择100个，通常没有一对是不相交的。这大概是n^2/2比较（如果子集是随机选取的）

在特殊情况下，当子集的长度很小（例如5）时，复杂度上升得更快。一个基本的穷举搜索至少可以工作500分钟

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我的观点是，这取决于你的数据。

在{1..32}的100个随机子集的一般情况下，基本的穷举搜索非常有效。子集的大小约为16，如果选择100个，通常没有一对是不相交的。这大概是n^2/2比较（如果子集是随机选取的）

在特殊情况下，当子集的长度很小（例如5）时，复杂度上升得更快。一个基本的穷举搜索至少可以工作500分钟

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我的观点是，这取决于您的数据。

那么，我是否应该强制执行它？我发现的唯一解决方案是使用类似bfs的方法对集合进行迭代，该方法的时间复杂度范围为n到2^n，其中n是集合数，空间复杂度为2^n*log2（σ），其中σ代表我考虑的字典大小，在最糟糕的情况下，有很多场景需要拍摄，这似乎过于复杂了。有可能有比暴力更好的东西，但这仍然需要指数级的时间，尽管我不知道。在某种程度上，大多数解决方案都是通过对可能的组合进行某种探索来实现的。OP的问题类似于集合装箱问题，但有所不同，因为OP寻找的是元素数量最大的并集，而不是子集数量最大的并集。所以我应该强制它吗？我发现的唯一解决方案是使用类似bfs的方法对集合进行迭代，该方法的时间复杂度范围为n到2^n，其中n是集合数，空间复杂度为2^n*log2（σ），其中σ代表我考虑的字典大小，在最糟糕的情况下，有很多场景需要拍摄，这似乎过于复杂了。有可能有比暴力更好的东西，但这仍然需要指数级的时间，尽管我不知道。在某种程度上，大多数解决方案都是通过对可能的组合进行某种探索来实现的。OP的问题类似于集合装箱问题，但不同，因为OP寻找的是元素数量最大的并集，不适用于子集数最大的并集。零一整数规划将是我的首选。有一些很好的开源解决方案，如cbc。如果集合包含1-32之间的整数，则它们不能有50个成员（或任何超过32个的成员）。请解释您所说的每个集合最多只能有50个项的意思。考虑到每个集合只能包含1到32之间的数字，我似乎没有什么意义。请同时说明首选语言。32似乎很适合通过使用32位整数来加速运算。@WalterTross这听起来是一个很好的微观优化，但我认为问题是需要一个更好的算法。@WalterTross看起来我在以一些复杂的方式思考它，一个简单的&操作数可以确定这一点。零一整数编程将是我的首选。有一些很好的开源解决方案，如cbc。如果集合包含1-32之间的整数，则它们不能有50个成员（或任何超过32个的成员）。请解释您所说的每个集合最多只能有50个项的意思。考虑到每个集合只能包含1到32之间的数字，我似乎没有什么意义。请同时说明首选语言。32似乎很适合通过使用32位整数来加速运算。@WalterTross这听起来是一个很好的微观优化，但我认为问题是需要一个更好的算法。@WalterTross看起来我在以一些复杂的方式思考它，一个简单的&操作数可以确定这一点。