Algorithm 算法分析：基于RNG的递归函数的预期运行时间

我对一个程序的运行时分析有些困惑，这个程序有依赖于RNG的递归调用。（随机生成的数字）

让我们从伪代码开始，然后我将讨论到目前为止我所想到的与此相关的内容

Func1(A, i, j)
/* A is an array of at least j integers */

1 if (i ≥ j) then return (0);
2 n ← j − i + 1 ; /* n = number of elements from i to j */
3 k ← Random(n);
4 s ← 0; //Takes time of Arbitrary C

5 for r ← i to j do
6 A[r] ← A[r] − A[i] − A[j]; //Arbitrary C
7 s ← s + A[r]; //Arbitrary C
8 end

9 s ← s + Func1(A, i, i+k-1); //Recursive Call 1
10 s ← s + Func1(A, i+k, j); //Recursive Call 2
11 return (s);

好的，现在让我们开始我到目前为止尝试过的数学。在这里我尽量不要太迂腐，因为这只是对预期运行时间的粗略估计分析

首先，让我们考虑最坏的情况。请注意，K=Random（n）必须至少为1，最多为n。因此，最坏的情况是选择K=1。这导致总运行时间等于T（n）=cn+T（1）+T（n-1）。这意味着总的来说，它需要大约cn^2的总时间（如果您对递归关系感到困惑或生疏，您可以使用Wolfram来解决递归关系，尽管这是一个相当简单的问题）

现在，我有点困惑了。对于预期运行时间，我们必须根据随机数K的概率进行假设。因此，我们必须将不同K值的所有可能运行时间加上各自的概率相加。根据引理/直觉逻辑：任意一个随机生成的k，k在1到n之间，其概率等于1/n

因此，（在我看来/分析中）预期运行时间是：

ET（n）=cn+（1/n）*（ET（k-1）+ET（n-k）之和（从k=1到n-1）

让我解释一下。cn只是运行i到j的循环。这是cn估计的。总和表示k的所有可能值。（1/n）乘以这个总和是因为任何一个k的概率是（1/n）求和中的项表示Func1递归调用的运行时间。左侧的第一项取ET（k-1），因为此递归调用将从i循环到k-1（大致为ck），然后可能再次调用Func1。第二个是第二个递归调用的表示，它将从i+k循环到j，也由n-k表示

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在扩展求和后，我们可以看到整个函数ET（n）的阶数为n^2。但是，作为一个测试用例，插入k=（n/2）会使Func 1的总运行时间大约为nlog（n）。这就是我感到困惑的原因。如果估计的运行时间为n^2级，这怎么可能？我是否在考虑为k插入n/2的“好”案例？或者我在某种程度上对k的想法是错误的

预期的时间复杂度为

ET（n）=O（nlogn）

。以下是我自己推导的数学证明，如有错误请告知：-

ET(n) = P(k=1)*(ET(1)+ET(n-1)) + P(k=2)*(ET(2)+ET(n-2)).......P(k=n-1)*(ET(n-1)+ET(1)) + c*n

As the RNG is uniformly random  P(k=x) = 1/n for all x

hence ET(n) = 1/n*(ET(1)*2+ET(2)*2....ET(n-1)*2) + c*n

ET(n) = 2/n*sum(ET(i)) + c*n i in (1,n-1)

ET(n-1) = 2/(n-1)*sum(ET(i)) + c*(n-1) i in (1,n-2)

sum(ET(i)) i in (1,n-2) = (ET(n-1)-c*(n-1))*(n-1)/2

ET(n) = 2/n*(sum(ET(i)) in (1,n-2) + ET(n-1)) + c*n

ET(n) = 2/n*((ET(n-1)-c*(n-1))*(n-1)/2+ET(n-1)) + c*n

ET(n) = 2/n*((n+1)/2*ET(n-1) - c*(n-1)*(n-1)/2) + c*n

ET(n) = (n+1)/n*ET(n-1) +  c*n - c*(n-1)*(n-1)/n

ET(n) = (n+1)/n*ET(n-1) + c

solving recurrence

ET(n) = (n+1)ET(1) + c + (n+1)/n*c + (n+1)/(n-1)*c + (n+1)/(n-2)*c.....


ET(n) = (n+1) + c + (n+1)*sum(1/i) i in (1,n)


sum(1/i) i in (1,n) = O(logn)


ET(n) = (n+1) + c + (n+1)*logn


ET(n) = O(nlogn)

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这是一个计算机科学问题，并不是一个很适合的问题。考虑将这个问题迁移到（通过一个慢化剂标志），或者（因为这个问题还没有答案）删除和转发。（除了更专业的读者之外）的另一个好处是，您可以使用数学格式来提高问题的可读性。如果

Random（n）

返回[1，n]中的数字，最坏的情况是递归根本不会终止。如果每次选择

k

作为

n

，第9行中的递归调用将具有与原始调用相同的

i

和

j

值。您可能需要查找具有相同行为的快速排序分析（没有上一条注释中提到的问题）。“在扩展求和时，我们看到整体函数ET（n）的阶数为n^2。”：我不同意。你能扩展你的思维吗？我之前也做过类似的事情，我认为这至少是正确的方向。把所有的东西都放在求和的形式中，简化和扩展。