Algorithm 在非指数时间内解决灯泡切换难题？

灯泡通断故障：

给您的开关和灯泡很少，不一定相等，每个按钮可以连接到多个灯泡，当开关打开时，它会打开已经关闭的灯泡，关闭已经打开的灯泡。我们需要找出是否所有的灯泡都可以通过切换这些开关来点亮

我们可以在O（2^n.n.m.x）（n，开关数量；m，总灯泡数；x，任何开关打开的最大灯泡数）中强行解决这个问题。在这里，我们尝试开关O（2^n）的所有组合，并在从所选开关O（n.x）打开所有灯泡后检查是否所有灯泡都打开O（m）

这可以在非指数时间内完成，也许是一种启发式方法。 这在某种程度上与集合填充和集合覆盖问题有关，两者似乎都只有近似算法（NP难，IIRC）

答案是“是”，你可以在O（min（（m^2）n，（n^2）m））时间内解决这类难题

你的问题可以看作是一个整数模2，其中乘法变成布尔“and”，加法变成布尔“xor”

为了使事情更具体：您可以将“原始”灯泡状态（所有开关均关闭）表示为布尔列向量，将每个开关的状态表示为另一个布尔向量，并将每个开关切换的灯泡集表示为布尔矩阵的对应列：

output     original         matrix      switches
  [v]        [u]        [m m m m m m]     [x]
  [v]   =    [u]   +    [m m m m m m]  *  [x]
  [v]        [u]        [m m m m m m]     [x]
                                          [x]
                                          [x]

这是一组整数mod 2下的线性方程组，您可以使用适当修改的标准版本有效地解决此类问题

请注意，这种方法之所以有效，是因为翻转开关总是切换同一组灯泡。如果不是这样的话，那么方程就不是线性的，你也不能用这种方法求解。一般来说，如果在这类问题中有“或”与“和”混合在一起，你可能会有一些变化，这是NP完全的。

答案是“是”，你可以在O（min（（m^2）n，（n^2）m））时间内解决这类难题

你的问题可以看作是一个整数模2，其中乘法变成布尔“and”，加法变成布尔“xor”

为了使事情更具体：您可以将“原始”灯泡状态（所有开关均关闭）表示为布尔列向量，将每个开关的状态表示为另一个布尔向量，并将每个开关切换的灯泡集表示为布尔矩阵的对应列：

output     original         matrix      switches
  [v]        [u]        [m m m m m m]     [x]
  [v]   =    [u]   +    [m m m m m m]  *  [x]
  [v]        [u]        [m m m m m m]     [x]
                                          [x]
                                          [x]

这是一组整数mod 2下的线性方程组，您可以使用适当修改的标准版本有效地解决此类问题

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请注意，这种方法之所以有效，是因为翻转开关总是切换同一组灯泡。如果不是这样的话，那么方程就不是线性的，你也不能用这种方法求解。一般来说，如果在这类问题中有“或”与“和”混合，则可能会有一些变化，这是NP完全问题。

简单情况下，X=1

对于x=1的简单情况，每个开关只能控制一个灯泡，这是O（N），因为您只需切换所有开关并检查所有灯是否亮起（这是两个单独的O（N）操作，或者更确切地说，是O（N）和O（m））

非平凡情况，X>1

对于x>1，这不能在线性时间或多项式时间内完成-它至少是指数时间，但更可能更糟，因为任何给定开关的效果与任何其他给定开关的效果没有直接关系。对于开关a，不要求开关B影响或不影响与开关a相同的任何灯。可能影响，但也可能不影响。因此，开关之间的关系不可能减少

这是一个标准排列问题，可以直接映射到任何其他主要排列问题，因此相同的非多项式O（）（非多项式=指数或更差）适用于此

成本

最好的情况似乎是O（m2^n），使用等效的二进制计数，但使用开关而不是位，来检查每一个可能的开关组合，并测试是否所有的灯都亮起。请注意，对于此解决方案，可以影响多少灯光“x”并不起作用，因为尝试这样做实际上会增加计算的总体O（）成本，并且实际上不会影响结果

解决这一问题的一些方法实际上会增加O（），例如解决一个线性方程组，它至少是O（（xn）^（xn）），可能更多，因为它是一个概率关系。这是因为任何给定开关和任何给定灯光之间都没有线性关系，除了第一个简单的x=1示例，因此线性方程组中的每个“变量”都必须表示与灯光相互作用的每个可能组合

关于简化/优化的一些想法，但要付出代价

不过，在软件中实现它的一种可能更简单的方法是，由于表示更简单，在现代计算硬件上对某些n，m，x可能更快，但在O（（m+n）！）下的估计最大成本更高，可以从开关和灯之间的关系中得出：任何给定的灯都将“打开”当且仅当影响该灯光的“开”开关数量为奇数时（第一个开关打开，第二个开关关闭，等等）。这需要为m个灯光中的每个灯光找到n个切换贴图（其中每个切换贴图表示灯光上开关的效果）上的排列，其中每个灯光都有2q+1个影响它的开关，因为q>=0

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然而，对于非常大的n，m，切换每个开关并测试解决方案的简单二进制计数方法可能是最快的，因为它只是2的幂

对于x=1的简单情况，每个开关只能控制一个灯泡，这是O（N），因为您只需切换所有开关并检查