Algorithm 如何为每个n构造一个无算术置换？

对于某些固定整数

N

，如果

A是

{1，…，N}

的置换；及

对于每个

1≤ i

，元素

A[i]

，

A[j]

，

A[k]

（按顺序）不构成算术运算 进展这意味着，

A[j]-A[i]=--A[k]-A[j]

---

给出一个算法，给定

N

，该算法返回

O（N logn）

时间中大小

N

的无算术排列。保证所有正整数

N

都存在无算术置换

为下一个最高的二次幂构造一个函数，并去掉不属于该函数的数字。有几种方法可以在O（n logn）时间内完成此操作。如果这是家庭作业，我不打算写一个正式的证明，但总的想法是看看a[I]，a[j]和a[k]不完全相同的最低阶位，并观察到两个一致的是相邻的。

这是一个很好的答案

说

a

和

b-a=c-b

。然后

2 * b = a + c

由于

2*b

始终是偶数，为了打破任何级数，

a

和

c

必须具有不同的奇偶性。但是，将赔率分成一边和另一边是相等的是不够的，因为如果我们有4个以上的数字，我们可以在其中一组中生成算术级数

在这里，我们可以使用本文中的递归思想来打破它。我理解的一种方法是考虑如果我们有一个数组大小<代码> n>代码>的解决方案，因为算术级数取决于数字之间的差异，我们可以用算术函数将给定的解映射到相同的效果：

if [a, b, c, d] works,

then [2*a, 2*b, 2*c, 2*d] works too

and so does [2*a - 1, 2*b - 1, 2*c - 1, 2*d - 1]

因此，我们所需要做的就是将一个较小的解决方案一次映射到偶数，一次映射到赔率，并将它们分别分组。（分组将问题限制在打破每组的算术级数，因为如我们所示，没有级数，

（a，b，c）

，将依赖于不同的平价的

a

和

c

。）

N1 -> [1]

N2 -> even map N1 + odd map N1
      [2*1] + [2*1 - 1]
      [2, 1]

N3 -> even map N1 + odd map N2
      [2*1] + [2*2 - 1, 2*1 - 1]
      [2, 3, 1]
...

N6 -> even map N3 + odd map N3
      [2*2, 2*3, 2*1] + [2*2 - 1, 2*3 - 1, 2*1 - 1]
      [4, 6, 2, 3, 5, 1]