Algorithm 验证无向树中最长路径的不同方法

我在尝试这个问题- 在未加权的无向树上寻找最长的路径

方法1 简单直观的解释- 我们从节点X开始，它总是试图到达作为最长路径（比如YZ）一部分的节点。因此，通过最长路径（例如在节点N处）。从那以后，它将有两个选择——要么在最长路径的一侧（新西兰）走，要么在另一侧（纽约）走。这将需要更长的时间（纽约和YZ）。因此，我们最终将到达最长路径（节点Y）的一端。现在，如果X选择的路径不是与最长路径（YZ）重叠的路径（max（NY，NZ）），那么概括地说，这意味着存在一条比最长路径（YZ）更长的路径

用矛盾证明-

案例1-

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假设有一条路径XT与YZ不重叠，且长度大于XN+max（NY，NZ）。 假设S是N和T的最低共同祖先。现在，让长度（UV）是一个函数，它告诉2个节点u和v之间的路径长度

We know, Length(XT) = Length(XS) + Length(ST)                 ..... 1
         Length(XY) = Length(XS) + Length(SN) + Length(NY)    ..... 2     
         Length(XZ) = Length(XS) + Length(SN) + Length(NZ)    ..... 3

在不丧失一般性的情况下，让我们假设，

Length（NY）>Length（NZ）。。。4

现在，我们声明

Length（XT）>Length（XY）。

因此，使用1,2和4， 我们得到，

Length（ST）>Length（SN）+Length（NY）。

但是，在这种情况下，在最长路径YZ中，如果我们将NY替换为NT，即NS+ST，我们将得到比YZ更长的路径。那么YZ就不会是最长的路了。因此，一个矛盾

因此证明了

XN+max（NY，NZ）

是从X开始的最长路径，并将我们带到Y，Y被证明是绝对最长路径的一端

类似地，我们可以证明情况2-当XT与YZ部分重叠时。这是留给读者的练习

方法2（有待验证是否正确） 我的解决方案以及akul建议的更正（）

（我可能很久以前读过这篇文章或类似的文章，但无法关联/回忆）-

所以，在这里，我基本上是沿着最长的路径逐渐变细， 从所有边界（阶数1）节点开始，作为最长路径 是连接两个1度节点（最远的节点）的节点

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我的问题-这种方法（方法2）有效吗？

我同意@j_random_hacker的观点，即这种方法是有效的，并且可以用矛盾来证明：

证明两个端点节点的阶数必须为1

• 假设存在阶数为N的结束节点A，其中N>1
• 请注意，路径必须包含N条边中的一条
• 请注意，通过另一条边退出将扩展路径
• 因此，A不能是结束节点

证明阶数为1的节点（两个端点节点除外）不能是路径的一部分

• 假设有一个阶数为1的节点B是路径的一部分，但不是结束节点
• 请注意，路径必须使用唯一的边才能输入B
• 请注意，出口B没有剩余边缘
• 因此，B不能是路径的一部分

但是，我会用稍微不同的方式来表达算法。第一次阅读步骤3b时，我被需要将长度增加1的

else

子句弄糊涂了。经过进一步的检查，我最终发现

else

子句只在算法的末尾需要。最后通过步骤3a将留下一个具有一个或两个剩余节点的图

如果两个节点保留在末端，则图形由两个阶数为1的节点和一条边组成。通过该图的最长路径的长度为1。这是一种特殊情况，移除两个端点节点只移除一条边。因此，我将重写算法，如下所示，以明确特殊情况只发生在最后

START
1. Make a list of nodes of the Tree storing the "Degree" of each node 
   along with a list of neighbors of the node. 

2. Initialize length=0

3. While the number of remaining nodes > 2
     a. remove all nodes having degree 1, and remove the corresponding edges  
     b. length+=2
     c. update the degree and the neighbor list of any remaining nodes 

4. if ( number of remaining nodes == 2 )
     length+=1

return length 
END

---

是的，它是有效的。OTOH你对方法#1的推理是不可靠的：“我们开始的节点X总是试图到达最长路径（比如YZ）的一部分的节点”——这个属性就是你需要证明的，以证明这种方法是正确的（而且是正确的）。@j#U random_hacker——谢谢你的确认。我已经按照你说的更新了证据。事实上，在我第一次尝试时，我正在努力画一棵树，所以我跳过了证明。现在，我有了另一个选择！请检查并确认证据案例1的有效性。案例2已跳过。方法2有名称吗？有没有使用这种方法的类似算法（不考虑最小生成树算法）。“让我们假设，如果有一条路径XT与YZ不重叠，并且长度大于XN+max（NY，NZ）”——这里的问题是，你已经假设N存在——但你还没有证明这一点，只是假设它，所以后面的矛盾只告诉你这两个假设中至少有一个是不正确的。证明应该从“假设有一条比YZ长的路径UV”开始——也就是说，不应该假设最长的路径涉及到您计算的任何顶点X、Y或Z。然后你可以把它分解成几个例子，每个例子都有一个矛盾。恐怕我不知道第二种方法的名字。为了证明它的正确性，你可以证明（很容易，通过矛盾）树中的最长路径必须以不同的叶子开始和结束，然后证明“修剪”叶子后存在的任何叶子都不能是原始树中的叶子，因此，修剪树中的任何最大长度路径都可以在原始树的每一端进行扩展。感谢您的证明和改进。

*   START -
*   Store all the nodes with their degrees.
*   1. Make a list of nodes of the Tree storing the "Degree" of each node along with the neighbors of the node. 
*
*   2.Initialize length=0;
*
*   3. While there are edges present in the tree, perform the following
*      a. remove the edges connecting all the nodes having degree 1. 
*
*      b.   if(number of edges removed >=2 ) length+=2;
*           else length+=1
*
*      c. update degree of node and its neighbors and the edge information
*
*   return length
*   END.

START
1. Make a list of nodes of the Tree storing the "Degree" of each node 
   along with a list of neighbors of the node. 

2. Initialize length=0

3. While the number of remaining nodes > 2
     a. remove all nodes having degree 1, and remove the corresponding edges  
     b. length+=2
     c. update the degree and the neighbor list of any remaining nodes 

4. if ( number of remaining nodes == 2 )
     length+=1

return length 
END