Algorithm 如何从两个排序数组的对中获得K个最小乘积？

给出了两个排序数组。我们必须从这些数组的对中找到K个最小乘积。我可以想到一个mnlogk解决方案，但是即使数组不是按排序的，这个解决方案也可以工作。我们能利用这个排序顺序找到更好的解决方案吗

我尝试使用大小为k的最大堆来获得mnlogk解决方案

输入：nums1=[-2，-1,0,1,2]，nums2=[-3，-1,2,4,5]，k=3 输出：[-10，-8，-6]

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说明：-2*5、-2*4、2*-3

不要使用堆，而是尝试按排序顺序生成产品

想象一个

n*m

网格，由索引形成到相应的数组中。在任何给定的时间点，网格被划分为“已检查”和“尚未检查”部分。我们将保持一个不变量，即每对被检验的产品小于未被检验产品的产品。难点在于证明它们之间的边界有

O（n+m）

对；数组被排序这一事实对于证明是至关重要的

现在，您可以沿着边界测试产品，获取最小值，并相应地修改边界。此操作将花费

O（n+m）

时间，并将执行

k次。总体复杂性是O（k（n+m）

）

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最后的优化：上面的计划一次又一次地重新计算边界沿线的许多产品。将边界表示为排序映射可能会将复杂性降低到O（klog（n+m））

这里有一个具有O（kmin（n，m））时间复杂性的算法

设A和B为整数列表排序，即A=[a1 a2 a3…am]带ai≤ ai+1，B=[b1 b2 b3…bn]和bi≤ bi+1

现在假设ai≥ 0和bi≥ 0下面我们将演示如何计算负整数

设p=（i j）是一对，其中i和j是ai和bj的索引。设P是一个对的列表。集合P=[（11）（12）（13）…（1n）]。假设k>0（和k≤ m x n）。设R是k个第一乘积对的列表。初始化R=[]

将p的第一对p=（i j）与R相加

如果R的大小为k，则终止

设置p=（i+1 j）。而p的乘积大于乘积 对于P中的下一对q，交换P和q

转到步骤1

上述算法的时间复杂度为O（kn），仅适用于包含非负整数的A和B。注意，如果m 下面是一个例子，用A=[2 6 13]和B=[1 6 9]来说明算法。下面的矩阵显示了每个（i j）的乘积ai x bj

这是计算开始时p和R的初始状态。我们在P中的每一对（ij）后面加上乘积ai x bj的值

在第一次迭代中，

（1 1）：2

被添加到R中，p中的第一对成为

（1+1）

在下一次迭代中，

（21）：6

被添加到R中，p中的第一对成为

（2+11）

。因为该对的乘积大于P中下一对的乘积，所以它们被交换

R = [(1 1):2 (2 1):6]
P = [(3 1):13 (1 2):12 (1 3):18] 
P = [(1 2):12 (3 1):13 (1 3):18]

下一次迭代，类似于上一次迭代的操作

R = [(1 1):2 (2 1):6 (1 2):12]
P = [(2 2):36 (3 1):13 (1 3):18]
P = [(3 1):13 (1 3):18 (2 2):36] 

在这个迭代中，将

（3 1）：13

添加到R之后，第一对p变为

（3+1）

，但该对不存在。所以，它只是从P中删除

R = [(1 1):2 (2 1):6 (1 2):12 (3 1):13]
P = [(1 3):18 (2 2):36]

以下是p为空之前的所有剩余迭代

R = [(1 1):2 (2 1):6 (1 2):12 (3 1):13 (1 3):18]
P = [(2 3):54 (2 2):36]  
P = [(2 2):36 (2 3):54]

R = [(1 1):2 (2 1):6 (1 2):12 (3 1):13 (1 3):18 (2 2):36]
P = [(3 2):78 (2 3):54]  
P = [(2 3):54 (3 2):78]

R = [(1 1):2 (2 1):6 (1 2):12 (3 1):13 (1 3):18 (2 2):36 (2 3):54]
P = [(3 3):117 (3 2):78] 
P = [(3 2):78 (3 3):117]

R = [(1 1):2 (2 1):6 (1 2):12 (3 1):13 (1 3):18 (2 2):36 (2 3):54 (3 2):78]
P = [(3 3):117]

R = [(1 1):2 (2 1):6 (1 2):12 (3 1):13 (1 3):18 (2 2):36 (2 3):54 (3 2):78 (3 3):117]
P = []

现在，如果A和B同时包含非负整数和负整数，我们可以使用上述算法同时求解最多4个子问题，以获得k个最小整数。为此，我们定义了迭代器函数F（A，B），该函数在每次调用时使用上述算法按递增顺序生成下一个乘积。设A-和A+是A的子列表，分别包含其负整数和非负整数。B-和B+也是这样。我们为以下4个子问题调用迭代器函数

F(A+, B+)
F(A+, reverse(B-))
F(reverse(A-), B+)
F(reverse(A-), reverse(B-))  

---

其中，reverse（L）返回列表L及其元素的顺序相反。我们迭代这四个迭代器，选择k个最小的返回对

你能给出一个例子来说明这个问题吗？在你的例子中，你把第一个数组中的-2与第二个数组中的5和4配对。这是正确的吗？@Robert yes，这是解决这个问题的正确方法。（我很惊讶没有从两套产品中找到K个最大的产品，答案是否恰当。）4个子问题的识别就在现场。在循序渐进地介绍要遵循的程序时，我看不出我≠P中的1，而n开始时是B的基数，在过程中用作P中的下一对n。@greybeard捕捉得好！我修正了打字错误。谢谢我添加了一个详细的示例。@greybeard参见示例，第三次迭代，删除

（12）：12

@greybeard

（1+1）=（21）

，第一对的乘积变为

（22）：36

。我不确定你的意思。获取最小边界值会有什么帮助？我们不是每次都要取k最小值吗？我们如何修改边界？

R = [(1 1):2 (2 1):6 (1 2):12 (3 1):13]
P = [(1 3):18 (2 2):36]

R = [(1 1):2 (2 1):6 (1 2):12 (3 1):13 (1 3):18]
P = [(2 3):54 (2 2):36]  
P = [(2 2):36 (2 3):54]

R = [(1 1):2 (2 1):6 (1 2):12 (3 1):13 (1 3):18 (2 2):36]
P = [(3 2):78 (2 3):54]  
P = [(2 3):54 (3 2):78]

R = [(1 1):2 (2 1):6 (1 2):12 (3 1):13 (1 3):18 (2 2):36 (2 3):54]
P = [(3 3):117 (3 2):78] 
P = [(3 2):78 (3 3):117]

R = [(1 1):2 (2 1):6 (1 2):12 (3 1):13 (1 3):18 (2 2):36 (2 3):54 (3 2):78]
P = [(3 3):117]

R = [(1 1):2 (2 1):6 (1 2):12 (3 1):13 (1 3):18 (2 2):36 (2 3):54 (3 2):78 (3 3):117]
P = []

F(A+, B+)
F(A+, reverse(B-))
F(reverse(A-), B+)
F(reverse(A-), reverse(B-))