Algorithm 图的宽度优先遍历的证明

我试图证明下面的算法，看看在图G=（v，E）中是否存在从u到v的路径

我知道要完成证明，我需要证明终止、不变量和正确性，但我不知道如何证明。我想我需要在while循环中使用归纳法，但我不确定如何使用

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我如何证明算法的这三个特征？

免责声明：我不知道你希望你的证明有多正式，我不熟悉正式证明

while循环的归纳法：一开始是真的吗？在一个步骤（相当简单的路径属性）之后它是否仍然为真

同样的想法，关于k的归纳法（为什么k+1？）：一开始是真的吗？在一个步骤（相当简单的路径属性）之后它是否仍然为真

把Reach看作一个严格递增的集合

终止：也许你可以使用一个相当简单的属性链接到图的直径

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（这个问题可能在其他地方得到更好的回答，也许吧？

有很多可能性。例如，对于广度优先搜索，我们注意到： （1） 该算法从不访问同一节点两次。（因为任何返回路径必须大于等于已将其放入已发现堆中的长度。）。 （2） 在每一步中，它只添加一个节点

因此，它显然必须在任何有限图上终止，因为可发现的节点集不能大于图中的节点集

最后，由于给定一个起始节点，它将仅在到达通过任何路径连接到起始节点的每个节点时终止，因此它将始终找到起始和目标之间的路径（如果存在）

如果您愿意，您可以更严格地重写上述逻辑步骤，例如，通过显示访问节点的列表严格增加且不收敛（即，向某个对象重复添加一个节点趋于无穷大）且终止条件必须满足至多某个有限值，且非收敛的增函数总是与给定的界恰好相交一次

BFS是一个简单的例子，因为它有如此简单的逻辑，但为给定的算法证明这些东西可能非常棘手。

什么是“后续算法”？