Algorithm 基本算法证明

我有一个数字序列，例如：

170、205、225、190、260、130、225、160

，我必须将它们分成具有固定数量元素的集合，以便集合中元素之间的最大差异最小化

我保证，如果我需要将元素拆分为

K

元素集，那么元素的全局数量等于

Z*K

对于

K=4

的示例，可以通过以下方式执行最佳拆分：

（1）：130 160 170 190

（最大差值等于60）

（2）：205 225 260

（最大差值等于55）

因此，这种情况下的全局最大差值等于60

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现在，问题是：我的假设是我可以对初始数据进行排序，并从一开始就将其分成偶数部分吗？如果这是正确的，我如何证明它？如果不是，我应该使用哪种方法来解决这个问题？

如果对初始序列进行排序，则相邻的数字必须具有最小的差异

此外，序列开头和结尾的元素必须具有最大的差异

因此，包含最后一个元素和第一个元素的序列的任何“切割”都不能成为解决方案的一部分，因为它包含的差异不是最小的

因此，分割必须通过从一开始就将数字序列分成偶数部分来完成

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在我看来，你的方法是正确的，但我想不出更正式的证据来证明这一点

自然地，通过对数字进行排序，您将获得成对数字之间的最小差异。您可以通过简单地拆分已排序的数字来获得差异最小的集合

在某些情况下，您可以在不增加每个集合的最大值的情况下在集合之间切换数字，因此可以有多种方法将数字划分为具有相同最大差异的集合。但是，在不增加另一个集合的最大值的情况下，不能在集合之间切换数字以减少任一集合的最大值

例如，如果设置了

1,3,4,5

和

6,7,8,10

，则可以切换

5

和

6

，而不增加两组的最大差异

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如果你想要最小的平均值，那么你可以牺牲一组中的最大差异来减少另一组中的差异。

假设你的数字量总是可以精确地除以K（所以不是一组4中的13个数字），这是正确的

显然，通过排序，可以得到尽可能接近的最相似的数字。问题是，如果将数字移动到具有更接近值的集合中最差位置的值，是否会使最大差异变小

答案是否定的。排序时，数字左边的值只有相等或更低的值，移动到左边的数字将被更低的值包围。在造成最大差异的两个数字中，至少有一个会得到更差的搭档，这意味着你的最大距离会更高。右边的数字越大，效果也一样

Sorted:
[lowest, low, low, x] distance1 = x-lowest
[y, high, high, highest] distance2 = highest-y

Swapped:
[lowest, low, low, y] distance3 = y-lowest
[x, high, high, highest] distance4 = highest-x

因为xdistance1和distance4>distance2意味着情况变得更糟

如果在此处放置更高的值，其工作方式相同

不管一个数字有多差，把另一个数字放在那个位置会让他们更差

另一个选项是将整个子集向左移动一个空间：

[lowest, low, low, y]
[high, high, highest, x]

但这实际上与交换的结果相同

这就是它在2台电视机上的工作原理

共有三套：

[lowest, low, low, x]
[lowM, lowM, highM, highM]
[highM, y, high, highest]

交换x和y与前面的相同。即使x与左下角的高点非常相似，甚至相等（如果中间的低点和高点实际上相等），y仍然高于x，使得最低点的差值更大，而x离最高点更远

向前移动一组数字：

[lowest, low, lowM, lowM]
[highM, highM, highM, y]
[x, highM, high, highest];

也许最大的区别是highM和highest之间的距离，现在这个距离已经消除了。但由于你只能通过在那个里放置一个更低的值来使它远离最高点，所以你总是让它变得更糟。最高距离highM现在是hight-x，x 相反，它也同样有效。如果有下一组的话，highM可以换成更接近最高的数字，但这会让highM换成更高的数字，造成更大的差异

是的，对数据进行排序，然后将其等分，总是会得到最小的最大差异，因为更改排序集总是会得到更糟糕的结果

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注意：如果数字不能被K除，那么它会变得更加复杂，你必须找出最差的一组，看看你是否可以将其最高或最低的数字移到下一个或上一个集合，而不会使另一个集合产生更大的差异。您只能将低位数字与高位数字交换的规则被删除，因为您可以将低位数字与高位数字交换，因此证明这一点是一个全新的层面。

我想知道这是否有意义，只需说，我在示例中假设的是正确的吗，

K=4

被给出了，而你却忘了提到它？@quasiverse是的，这是正确的。@hamstergene这个例子是针对

K=4

，我更新了这个问题。不过，当项目总数

n

不能被

K

平均整除时，事情变得有趣了。使用您的数据和设置

K==3

，您的最佳排列是

[130160]、[170190205]、[225225260]

。当

n mod k！=0

。请确保您的示例中的最大值会增加切换时的最大差值：切换前的最大差值为10-6=4，切换后的最大差值为10-5=5。@fl