Algorithm 查找关闭灯的最小按压次数

我试图解决一个编程问题，但我的计算机无法找到一个有效的算法。情况是这样的：我们有一组

n

灯，它们可以打开

（1）

或关闭

（0）

如下：

111000101101

。该字节字符串表示有

13个

灯组成一个圆圈，其中前三个灯点亮，然后

3个

下一个灯熄灭，依此类推，

圆圈

表示最后一个灯紧靠第一个灯

然后我们得到了一个整数

m>0

。这意味着我们可以在任何时候选择一个灯，然后它和它的

m相邻的
灯将其状态
s更改为1-s
。即，如果
m=2
且灯状态为
1110001011101
，则将该过程应用于第一个灯，我们得到序列
0000001011110

现在的问题是，如果关于
2200
和
m
关于
110
的长度字符串是固定的，那么如何开发
算法
，以
最小
圈数关闭所有灯，您的解释没有明确说明灯是否只应关闭或“翻转”（即，0变为1，1变为0）。您的示例数据只是将其关闭

如果是这种情况，只需将110个灯设置为0-这将比在关闭它们之前查询它们的状态更快。假设您的灯位于称为“灯”的阵列中，且启动灯位置为startPos：

// These first 2 lines added after Kolmar remark about adjacent lamps meaning lamps to the left and right.
startPos = startPos - m;
if (startPos < 0) startPos += lamps.length; 
for (int i=0; i <= m + 1; i++){
  if ((i + startPos) > lamps.length) startPos = 0;
  lamps[i + startPos] = 0;
}

使用Z/2Z上的线性代数（即仅包含数字0和1的字段）可以解决此类翻转问题

假设有N个灯泡和N个开关。假设M是一个N乘N矩阵，如果按下开关i切换灯泡j，位置i，j中有1。在这里，当N=5，m=1时，矩阵将如下所示：

1, 1, 0, 0, 1
1, 1, 1, 0, 0
0, 1, 1, 1, 0
0, 0, 1, 1, 1
1, 0, 0, 1, 1

设x为大小为N的列向量，其中每个条目为0或1

然后Mx（即矩阵M和向量x除以Z/2Z的乘积）是大小为N的列向量，它是按下x中1s对应的开关的结果。这是因为在Z/2Z中，乘法类似于“and”，加法类似于“xor”

设v为大小为N的列向量，如果灯泡i最初点亮，则v_i=1。如果是线性系统Mx=v的解，那么x就解决了这个问题。例如，可以使用高斯消去法来解决此问题。
此问题类似于众所周知的“熄灯”问题。一种方法是使用线性代数。用较小的数字更容易理解，比如长度=5和m=1

首先要注意的是，选择一盏灯并两次更改它（及其邻居）的状态没有任何效果。第二，请注意，灯（及其相邻灯）的开关顺序并不重要。因此，战略只是一组指示灯。我们将用1表示选择作为策略一部分的灯，用0表示未选择的灯。我们将1和0放在列向量中，例如，
（01101）^T
，其中T表示转置（行变为列）。该策略意味着在位置1（当然从位置0开始）及其两个相邻位置切换灯；然后是位置2的灯及其两个邻居，最后是位置4的灯及其两个邻居

策略的效果可以通过域GF（2）上的矩阵乘法来计算。GF（2）只有两个元素，
0
和
1
，除了规则
1+1=0
之外，还有普通的算术规则。然后，上述策略的效果是矩阵与矩阵相乘的结果，其结果是在
i-th
列中选择lamp
i
，换句话说，通过如下“循环矩阵”：

[ 1 1 0 0 1 ] [0]   [0]
[ 1 1 1 0 0 ] [1]   [0]
[ 0 1 1 1 0 ] [1] = [0]
[ 0 0 1 1 1 ] [0]   [0]
[ 1 0 0 1 1 ] [1]   [1]

策略
（0 1 0 1）^T
的结果是只切换最后一个位置的灯。因此，如果您只启动最后一个位置的灯并应用该策略，则所有灯都将熄灭

在这个简单的例子中，我们用列向量
b
表示初始配置。然后，解决方案是满足矩阵方程
Ax=b
的列向量
x

现在的问题是，对于给定的
b
，1）是否有一个x满足
Ax=b
？2）解
x
唯一吗？如果不是，哪个
x
的
1
最小？3）如何计算

上述问题的答案将取决于手头特定问题的数字“length”和“m”。在上面考虑的length=5，m=1问题中，线性代数理论告诉我们，任何
b
都有唯一的解。我们可以得到
形式的
b
的解（0…1…0）^T
，也就是说，通过“旋转”解，一个1和其余的0
（0 1 1 0 1）^T
。我们可以将任何解唯一地表示为这些解的线性组合，因此具有最小1个数的策略/解与任何给定初始状态的唯一解相同

另一方面，当长度=6和m=1时，所有三种策略
（100100）^T
，
（010010）^T
，和
（001001）^T
都映射到结果
（111111）^T
，因此在某些情况下没有唯一的解；根据线性代数理论，在某些其他情况下没有解

通常，我们可以使用高斯消去法判断解是否存在且唯一。在上述5x5情况下，将第0行添加到第1行和第4行

[ 1 1 0 0 1 ] [1 0 0 0 0]    [ 1 1 0 0 1 ] [1 0 0 0 0]
[ 1 1 1 0 0 ] [0 1 0 0 0]    [ 0 0 1 0 1 ] [1 1 0 0 0]
[ 0 1 1 1 0 ] [0 0 1 0 0] -> [ 0 1 1 1 0 ] [0 0 1 0 0] ->
[ 0 0 1 1 1 ] [0 0 0 1 0]    [ 0 0 1 1 1 ] [0 0 0 1 0]
[ 1 0 0 1 1 ] [0 0 0 0 1]    [ 0 1 0 1 0 ] [1 0 0 0 1]

然后交换第1行和第2行；然后将第1行添加到第0行和第4行

[ 1 1 0 0 1 ] [1 0 0 0 0]    [ 1 0 1 1 1 ] [1 0 1 0 0]
[ 0 1 1 1 0 ] [0 0 1 0 0]    [ 0 1 1 1 0 ] [0 0 1 0 0]
[ 0 0 1 0 1 ] [1 1 0 0 0] -> [ 0 0 1 0 1 ] [1 1 0 0 0] ->
[ 0 0 1 1 1 ] [0 0 0 1 0]    [ 0 0 1 1 1 ] [0 0 0 1 0]
[ 0 1 0 1 0 ] [1 0 0 0 1]    [ 0 0 1 0 0 ] [1 0 1 0 1]

然后将第2行添加到第0、1、3、4行；然后将第3行添加到第1、2行

[ 1 0 0 1 0 ] [0 1 1 0 0]    [ 1 0 0 0 0 ] [1 0 1 1 0]
[ 0 1 0 1 1 ] [1 1 1 0 0]    [ 0 1 0 0 1 ] [0 0 1 1 0]
[ 0 0 1 0 1 ] [1 1 0 0 0] -> [ 0 0 1 0 1 ] [1 1 0 0 0] ->
[ 0 0 0 1 0 ] [1 1 0 1 0]    [ 0 0 0 1 0 ] [1 1 0 1 0]
[ 0 0 0 0 1 ] [0 1 1 0 1]    [ 0 0 0 0 1 ] [0 1 1 0 1]

最后将第4行添加到第1、2行：

[ 1 0 0 0 0 ] [1 0 1 1 0]
[ 0 1 0 0 0 ] [0 1 0 1 1]
[ 0 0 1 0 0 ] [1 0 1 0 1]
[ 0 0 0 1 0 ] [1 1 0 1 0]
[ 0 0 0 0 1 ] [0 1 1 0 1]

您可以在右矩阵的列中读取解决方案的基础。例如，我们上面使用的解决方案位于右矩阵的最后一列

你应该试着用高斯消去法
[ 1 0 0 0 0 ] [1 0 1 1 0]
[ 0 1 0 0 0 ] [0 1 0 1 1]
[ 0 0 1 0 0 ] [1 0 1 0 1]
[ 0 0 0 1 0 ] [1 1 0 1 0]
[ 0 0 0 0 1 ] [0 1 1 0 1]