Algorithm 有向无环图中每个顶点不同路径数的线性时间算法

我正在为算法模块编写以下过去的论文问题：

设G=（V，E）是一个简单的有向无环图（DAG）。
对于一对顶点v，u在v中，如果G中有一条从u到v的（有向）路径，我们说v可以从u到达 （我们假设每个顶点都可以从自身到达。）
对于v中的任何顶点v，设R（v）为顶点v的可达数，即从v可到达的顶点u在v中的数目。
设计一种算法，对于给定的DAG，G=（V，E），计算V中所有顶点V的R（V）值。
提供算法分析（即正确性和运行时间 分析）。
（最佳情况下，应尝试设计一个运行在 O（n+m）时间。）

到目前为止，我有以下想法：

以下用于查找DAG拓扑排序的算法可能很有用：

TopologicalSort(G)
  1. Run DFS on G and compute a DFS-numbering, N // A DFS-numbering is a numbering (starting from 1) of the vertices of G, representing the point at which the DFS-call on a given vertex v finishes.
  2. Let the topological sort be the function a(v) = n - N[v] + 1 // n is the number of nodes in G and N[v] is the DFS-number of v.

我的第二个想法是，动态规划也可能是一种有用的方法。
然而，我目前不知道如何将这两个想法结合成一个解决方案

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如果有任何提示，我将不胜感激

编辑：不幸的是，下面的方法通常不正确。它可以对通过多条路径可以到达的节点进行多次计数

如果DAG是a，则以下想法是有效的，因为这保证了任意两个节点之间最多有一条路径

您可以使用以下步骤：

• 查找度为0的所有节点（即没有传入边）

这可以在

O（n+m）

中完成，例如通过在所有边上循环 并标记作为任何边的端点的节点。具有0的节点 在程度上是那些没有被标记的

• 从度为0的每个节点启动DFS

在对节点的DFS调用结束后，我们希望对该节点进行计算 节点的可达性信息

为了实现这一点，我们需要增加 此节点的后续节点。其中一些值可能已经被删除 已计算（如果DFS已经访问了后继者），因此 是一个动态规划解决方案

以下伪代码描述DFS代码：

function DFS(node) {
    visited[node] = true;
    reachability[node] = 1;

    for each successor of node {
        if (!visited[successor]) {
            DFS(successor);
        }
        reachability[node] += reachability[successor];
    }
}

对度为0的所有节点调用此函数后，

可达性

数组将包含图中所有节点的可达性

总体复杂度为

O（n+m）

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我建议使用广度优先搜索方法

对于每个节点，添加连接到队列的所有节点。除此之外，还要维护一个单独的数组来计算可达性

例如，如果a->B，则

1.) Mark A as traversed
2.) B is added to the queue
3.) arr[B]+=1

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这样，我们可以通过arr[]得到O（|v|+|E|）时间内所有顶点的R（v）

这些步骤是有用的；但是，我认为DFS的伪代码中可能有错误。我已经将其应用于我绘制的任意DAG，并且所有可达性条目的值都保持为0。实际上，在DFS中，可达性应该用1初始化（每个节点都可以到达自己）——现在编辑。还有另一个问题使得算法无效（一些节点可能被计数多次）。我正在考虑一种处理方法。