Algorithm N皇后算法
上面的代码是用于使用回溯解决N皇后问题的。我认为它可以将两行中的前两个皇后放在各自的列中，然后当涉及到第三行皇后时，它不能被放置，因为没有皇后需要进行攻击，它将简单地退出算法N皇后…那么这个算法是如何实现的呢回溯？这里的秘密是递归 让下面的每个缩进级别表示递归级别 （实际情况并非如此，因为第三位女王很容易被安置，但这需要更多的写作和/或思考才能得出一个实际失败的案例） 更符合代码实际功能的内容：（仍然不是实际发生的情况）Algorithm N皇后算法,algorithm,recursion,backtracking,n-queens,Algorithm,Recursion,Backtracking,N Queens,上面的代码是用于使用回溯解决N皇后问题的。我认为它可以将两行中的前两个皇后放在各自的列中，然后当涉及到第三行皇后时，它不能被放置，因为没有皇后需要进行攻击，它将简单地退出算法N皇后…那么这个算法是如何实现的呢回溯？这里的秘密是递归 让下面的每个缩进级别表示递归级别 （实际情况并非如此，因为第三位女王很容易被安置，但这需要更多的写作和/或思考才能得出一个实际失败的案例） 更符合代码实际功能的内容：（仍然不是实际发生的情况） 我希望这能有所帮助。我有代码，但不使用回溯，但好的是，它给了时间复杂度大哦
我希望这能有所帮助。我有代码，但不使用回溯，但好的是，它给了时间复杂度大哦（n）
//当n为偶数时。。。
对于（j=1；j公共类问题{
公共静态布尔isSafe（整块板[][]，整块行，整块列）{
int n=电路板长度；
//检查垂直线
对于（int i=0；i=0&&j=0&&j>=0；i--，j--）{
如果（board[i][j]==1）返回false；
}
//检查西南部
对于（int i=row+1，j=col-1；i=0；i++，j--）{
如果（board[i][j]==1）返回false；
}
返回true；
}
公共静态布尔n队列（int板[][]，int行）{
if（row==board.length）返回true；
对于（int j=0；j
在这里，我们使用回溯。回溯背后的思想是：我们走一条通向解决方案的道路，在不同的决策点上做出选择，如果我们走到了死胡同（没有更多的决策点，我们还没有找到我们要找的解决方案），我们回溯——也就是说，回到我们做出决定的最后一点，然后做出不同的选择（如果还有剩余的话）
public class-nqueen
{
//返回为n皇后问题找到的解决方案数。
公共静态整数求解（整数n）
{
//我们将在每列中放置一个皇后。皇后[i]将指示
//“i”列中的皇后占据了。
int[]queens=新的int[n]；
//用于跟踪哪些行、对角线、，
//对对角线已经被女王统治了
boolean[]used_rows=新的boolean[n]；
boolean[]md=new boolean[2*n]；//主对角线：\\\
boolean[]cd=new boolean[2*n]；//对角：///
返回解算（皇后区、已用行、md、cd、0）；
}
私有静态int solve（int[]queens，boolean[]used_行，boolean[]md，boolean[]cd，int col）
{
//找到了解决方案！请打印出来
如果（列==皇后长度）
{
打印解决方案（皇后区）；
返回1；
}
//跟踪找到的解决方案的数量
整数计数=0；
/考虑把女王放在每一行。
for（int row=0；rowAlgorithm NQueens ( k, n) //Prints all Solution to the n-queens problem
{
for i := 1 to n do
{
if Place (k, i) then
{
x[k] := i;
if ( k = n) then write ( x [1 : n]
else NQueens ( k+1, n);
}
}
}
Algorithm Place (k, i)
{
for j := 1 to k-1 do
if (( x[ j ] = // in the same column
or (Abs( x [ j ] - i) =Abs ( j – k ))) // or in the same diagonal
then return false;
return true;
}
try to place first queen
success
try to place second queen
success
try to place third queen
fail
try to place second queen in another position
success
try to place third queen
success
try to place fourth queen
first queen
i = 1
Can place? Yes. Cool, recurse.
second queen
i = 1
Can place? No.
i = 2
Can place? No.
i = 3
Can place? Yes. Cool, recurse.
third queen
i = 1
Can place? No.
i = 2
Can place? No.
... (can be placed at no position)
fail
back to second queen
i = 4
Can place? Yes. Cool, recurse.
third queen
i = 1
Can place? No.
...
// when n is even...
for(j=1;j<=n/2;j++)
{
x[j]=2*j;
};
i=1;
for(j=n/2 +1 ;j<=n;j++)
{
x[j] =i;
i=(2*i)+1;
}
// when n is odd..
i=0;
for(j=1;j<=(n/2+1);j++)
{
x[i] = (2*i)+1;
i++;
}
i=1;
for(j=(n/2+2);j<=n;j++)
{
x[j] = 2*i;
i++;
}
public class Problem {
public static boolean isSafe(int board[][], int row, int col) {
int n = board.length;
//check vertical line
for(int i=0; i < board.length; i++) {
if(i == row) continue;
if(board[i][col] == 1) return false;
}
//check horizontal line
for(int j=0; j < n; j++) {
if(j == col) continue;
if(board[row][j] == 1) return false;
}
//check north east
for(int i=row-1, j=col+1; i >=0 && j < n; i--, j++) {
if(board[i][j] == 1) return false;
}
//check south east
for(int i=row+1, j=col+1; i < n && j < n; i++, j++) {
if(board[i][j] == 1) return false;
}
//check north west
for(int i=row-1, j=col-1; i >=0 && j >=0; i--,j--) {
if(board[i][j] == 1) return false;
}
//check south west
for(int i=row+1, j=col-1; i<n && j >=0; i++,j--) {
if(board[i][j] == 1) return false;
}
return true;
}
public static boolean nQueen(int board[][], int row) {
if(row == board.length) return true;
for(int j=0; j < board.length; j++) {
if(isSafe(board, row, j)) {
board[row][j] = 1;
boolean nextPlacement = nQueen(board, row + 1);
if(nextPlacement) return true;
board[row][j] = 0;
}
}
return false;
}
public static void displayResult(int board[][]) {
int n = board.length;
for(int i=0; i < n; i++) {
for(int j=0; j < n; j++) {
System.out.print(board[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
public static void util(int board[][]) {
int n = board.length;
boolean result = nQueen(board, 0);
if(result) {
System.out.println(n + " queens can be placed in following arragement");
displayResult(board);
}
else {
System.out.println("Not possible to place " + n + " queens in " + n + " X " + n + " board");
}
System.out.println();
}
public static void main(String[] args) {
util(new int[3][3]);
util(new int[4][4]);
util(new int[2][2]);
util(new int[5][5]);
util(new int[8][8]);
util(new int[16][16]);
}
}
def Main():
import numpy as np
con_width = 80 # Console width
for h, w, n, rcnt in [
# h - heignt, w - width, n - num queens
# Create all tests here
] + [(i + 1, i + 1, i + 1, rcnt) for i, rcnt in enumerate([
# See https://oeis.org/A000170/b000170.txt
1, 0, 0, 2, 10, 4, 40, 92, 352, 724, 2680, 14200, 73712, 365596, 2279184, 14772512, 95815104, 666090624, 4968057848, 39029188884,
])]:
# Create empty board
board = np.zeros([h, w], dtype = np.int8)
sols = {}
# Recursive function for placing next queen using back-propagation
def Solve(*, qcnt = 0, fy = 0, fx = 0):
nonlocal board, sols
if qcnt >= n:
sola = np.nonzero(board > 0)
sol = tuple((y, x) for y, x in zip(sola[0].tolist(), sola[1].tolist()))
assert sol not in sols
sols[sol] = np.copy(board)
return
# Find coordinates of all available positions (zeroes)
av = np.nonzero(board == 0)
# Skip previous placed results
ava = np.vstack(av).T
avc = np.count_nonzero((ava[:, 0] < fy) | ((ava[:, 0] == fy) & (ava[:, 1] < fx)))
av = (av[0][avc:], av[1][avc:])
for i in range(av[0].shape[0]):
# Get next available position
y, x = av[0][i], av[1][i]
assert board[y, x] == 0, (y, x, board[y, x])
# Try placing queen into (y, x)
ps = np.zeros([2, 0], dtype = np.int32)
# Same row
ps = np.concatenate((ps, [np.full([w], y), np.arange(w)]), 1)
# Same column
ps = np.concatenate((ps, [np.arange(h), np.full([h], x)]), 1)
# Same primary diagonal
if y < x:
dlen = min(h, w - (x - y))
ps = np.concatenate((ps, [np.arange(dlen), np.arange(x - y, x - y + dlen)]), 1)
else:
dlen = min(w, h - (y - x))
ps = np.concatenate((ps, [np.arange(y - x, y - x + dlen), np.arange(dlen)]), 1)
# Same secondary diagonal
dlen = min(h, w, x + y + 1)
ps = np.concatenate((ps, [
np.arange((x + y) - min(x + y, w - 1), min(x + y, h - 1) + 1),
np.arange(min(x + y, w - 1), max(0, x + y - (h - 1)) - 1, -1),
]), 1)
ps = (ps[0, :].astype(np.int32), ps[1, :].astype(np.int32))
#print('placing', qcnt + 1, '(', y, x, ')\n', ps, '\n', board)
# Backup current values in positions
cvs = np.copy(board[ps])
# Attack all positions
board[ps] = -1
# Place queen
board[y, x] = qcnt + 1
#print('placed\n', board)
# Recurse
Solve(qcnt = qcnt + 1, fy = (y + 1, y)[bool(x + 1 < w)], fx = (x + 1) % w)
# Undo placed queen and attacked positions
board[ps] = cvs
print(f'Testing: h = {h}, w = {w}, n = {n}, sols = {rcnt}\n')
Solve()
lcnt = con_width // (w + 1)
sols = sorted(sols.items(), key = lambda e: e[0])
for ibl in range((len(sols) + lcnt - 1) // lcnt):
for l in range(h):
for i in range(ibl * lcnt, min((ibl + 1) * lcnt, len(sols))):
sol = sols[i][1]
print(''.join([('.', 'X')[e] for e in (sol[l, :] > 0).astype(np.uint8).tolist()]) + ' ', end = '')
print()
print()
num_sols = len(sols)
print(f'Result: h = {h}, w = {w}, n = {n}, sols = {num_sols}')
print('-' * con_width)
if rcnt is not None:
assert num_sols == rcnt, (h, w, n, num_sols, rcnt)
Main()
Testing: h = 1, w = 1, n = 1, sols = 1
X
Result: h = 1, w = 1, n = 1, sols = 1
--------------------------------------------------------------------------------
Testing: h = 2, w = 2, n = 2, sols = 0
Result: h = 2, w = 2, n = 2, sols = 0
--------------------------------------------------------------------------------
Testing: h = 3, w = 3, n = 3, sols = 0
Result: h = 3, w = 3, n = 3, sols = 0
--------------------------------------------------------------------------------
Testing: h = 4, w = 4, n = 4, sols = 2
.X.. ..X.
...X X...
X... ...X
..X. .X..
Result: h = 4, w = 4, n = 4, sols = 2
--------------------------------------------------------------------------------
Testing: h = 5, w = 5, n = 5, sols = 10
X.... X.... .X... .X... ..X.. ..X.. ...X. ...X. ....X ....X
..X.. ...X. ...X. ....X X.... ....X X.... .X... .X... ..X..
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...X. ..X.. ....X ...X. ....X X.... .X... X.... ..X.. .X...
Result: h = 5, w = 5, n = 5, sols = 10
--------------------------------------------------------------------------------
Testing: h = 6, w = 6, n = 6, sols = 4
.X.... ..X... ...X.. ....X.
...X.. .....X X..... ..X...
.....X .X.... ....X. X.....
X..... ....X. .X.... .....X
..X... X..... .....X ...X..
....X. ...X.. ..X... .X....
Result: h = 6, w = 6, n = 6, sols = 4
--------------------------------------------------------------------------------
Testing: h = 7, w = 7, n = 7, sols = 40
X...... X...... X...... X...... .X..... .X..... .X..... .X..... .X..... .X.....
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Result: h = 7, w = 7, n = 7, sols = 40
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Testing: h = 8, w = 8, n = 8, sols = 92
X....... X....... X....... X....... .X...... .X...... .X...... .X......
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Result: h = 8, w = 8, n = 8, sols = 92
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Testing: h = 9, w = 9, n = 9, sols = 352
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