Algorithm 最大化集合中元素之间的最小差异

我最近想到了这个问题，我想到了一个“本能的”贪婪的解决方案，但我无法证明它的最优性

给定N个整数，V1，V2，…，VN和K集（K 您需要找到一种将整数划分为多个集合的方法，以便使同一集合中任意两个元素之间的最小差异最大化

例如，当整数是1、5、6、8、8，并且有2个集合时，分割整数的最佳方法是

{1,6,8}

{5,8}

所以最小的差值在6和8之间，也就是2

例如，这种安排不是唯一的

{1,5,8}

{6,8}

也给出了最小差值2

我在想，如果我能用贪婪算法来解决这个问题

我会先排序，然后把所有的V1，V1+K，V1+2K。。。加在一起，然后是所有的V2，V2+K，V2+2K。。。一起，等等

有没有证据证明这个解决方案是最优性的，或者有一个反例证明它不起作用

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谢谢。

是的，这是最好的。我们将显示，如果使用您的过程出现差异D，那么对于任何数字排列，在同一集中有一对数字，它们的差异最大为D

为了证明这一点，考虑将分类数逐个加在K集上。让我们把排序后的数字称为x[i]。假设我们将x[n]加到其中一个集合中。该集合中的最大值是x[n-k]，对于某些D，x[n]-x[n-k]=D

现在，集合x[n-k]，x[n-k+1]，…，x[n]是k+1个数的集合，所有这些数彼此之间最多相差D（对于x[n]-x[n-k]=D）

根据鸽子洞原理，无论您如何排列，这些k+1数字中的两个必须落在同一组中，因此最大最小距离必须最多为D

这证明，如果在您的过程中出现距离D，则可达到的最大最小距离最多为D

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让D_min是使用您的过程的同一集合中两个数字之间的最小差值。然后我们证明了，可以达到的最大最小距离是，例如，在1，2，3，101，102，103和3个集合中，我们可以如下划分：{1，101}，{2，102}，{3，103}，所以答案是100。