Algorithm Z算法背后的直觉

Z算法是一种具有O（n）复杂度的字符串匹配算法

一个用例是从字符串B中查找字符串A的最长出现时间。例如，从

“stackoverflow”

中查找

“overdose”

的最长出现时间将是

“over”

。您可以通过使用组合字符串调用Z算法来发现这一点。

“overdose#stackoverflow”

（其中#是两个字符串中都不存在的字符）。然后，Z算法将尝试将组合字符串与自身匹配，并创建一个数组Z[]，其中Z[i]给出从索引i开始的最长匹配长度。在我们的例子中：

index  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
string o  v  e  r  d  o  s  e  #  s  t  a  c  k  o  v  e  r  f  l  o  w
z    (21) 0  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  4  0  0  0  0  0  1  0

该算法有很多代码实现和面向数学的解释，以下是一些很好的解释：

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我知道它是怎么工作的，但我不明白为什么。这几乎像是黑魔法。我有一个非常强烈的直觉，这项任务应该采取

O（n^2）

，但这里有一个算法，它在

O（n）

中完成，我也不觉得它完全直观，所以我认为我有资格回答。否则我只能说你不明白，因为你是个白痴，这肯定不是你所希望的答案：-）

举例说明（从解释中引用）：

所以，让我们试着更加直观

首先，我猜想O（n^2）的常见直觉是：对于长度为n的字符串，如果在没有其他信息的情况下，将其放置在字符串中的随机位置I，则必须匹配x（ 然而，Z算法充分利用了您从过去的计算中获得的信息

让我看看

首先，只要没有匹配项（Z[i]=0），就可以沿着字符串前进，每个字符进行一次比较，这就是O（N）。 其次，当你找到一个匹配的范围时（在索引i处），诀窍是使用之前的Z[0…i-1]进行巧妙的演绎，以恒定时间计算该范围内的所有Z值，而不在该范围内进行其他比较。接下来的匹配将仅在范围的右侧进行

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这就是我对它的理解，希望这能有所帮助。

我想对这个算法有更深入的理解，因此我发现了这个问题

起初我不理解，但后来我发现这足以让我理解，我注意到这篇文章并不完全准确，而且它省略了思考过程中的一些步骤，让人有点困惑

让我试着纠正那篇文章中的错误，并澄清一些我认为可以帮助人们将点与线联系起来的步骤。在这个过程中，我希望我们能从原作者那里学到一些直觉。在解释中，我将混合一些引用自codeforces的块和我自己的注释，这样我们就可以将原始帖子与我们的讨论保持接近

Z算法开始时为：

当我们迭代字符串中的字母时（索引i从1到n - 1） ，我们保持一个间隔[L， R] 这是最大R的间隔，使得1 ≤ L ≤ 我 ≤ R和S[L…R]是一个前缀子字符串（如果不存在这样的间隔，就让L = R =  - 1). 因为我 = 1，我们可以通过比较S[0…]和S[1…]来简单地计算L和R。此外，在这个过程中，我们也得到了Z

这是简单明了的

现在假设我们有正确的间隔[L， R] 因为我 - 1和i之前的所有Z值 - 1.我们将计算Z[i]和新的[L， R] 通过以下步骤：

• 如果我 > R、 那么就不存在在i之前开始、在i或之后结束的S前缀子串。如果存在这样的子串，[L， R] 将是该子字符串的间隔，而不是其当前值。因此我们“重置”并计算一个新的[L， R] 通过比较S[0…]和S[i…]，同时得到Z[i]（Z[i] = R - L + 1）

要点中的粗体部分可能令人困惑，但如果你读两遍，它实际上只是重复了R的定义

• 否则，我 ≤ R、 所以现在的[L， R] 至少延伸到i。让k = 我 - L.我们知道Z[i] ≥ min（Z[k]， R - 我 + 1） 因为S[i..]与S[k..]至少匹配R - 我 + 1个字符（它们位于[L， R] 我们知道是前缀子字符串的间隔）。现在我们有更多的案例要考虑。

粗体部分并不完全准确，因为R - 我 + 1可以大于Z[k]，在这种情况下，Z[i]将是Z[k]

现在让我们关注关键点：Z[i] ≥ min（Z[k]， R - 我 + 1） 。为什么这是真的？由于以下原因：

• 基于区间[L，R]和i的定义 ≤ R、 我们已经确认S[0…R-L]==S[L…R]，因此S[0…k]==S[L…i]和S[k…R-L]==S[i…R]
• 假设Z[k]=x，根据Z的定义，我们知道S[0…x]==S[k…k+x]
• 结合以上方程，我们知道当x

这些是我在开头提到的缺失点，它们解释了第二个和第三个要点，部分解释了最后一个要点。当我读到codeforces的帖子时，这并不简单。对我来说，这是这个算法最重要的部分

对于最后一个项目符号，如果Z[k] ≥ R - 我 + 1，我们将刷新[L，R]，使用i作为新的L，并将R扩展到更大的R'

在整个过程中，Z算法只使用每个字符一次进行比较，因此时间复杂度为O（n）

正如伊利亚所回答的那样，这个算法的直觉是

Correctness is inherent in the algorithm and is pretty intuitively clear.