Algorithm 如何证明递归算法的正确性 //对从L[i]到L[j]的项目进行排序 无效三向排序（int[]L，int i，int j）{ 如果（L[i]>L[j]）交换（i，j）； 如果（j-i+1>2）{ t=（j-i+1）/3； 三向排序（L，i，j-t）； 三向排序（L，i+t，j）； 三向排序（L，i，j-t）； } }

上面的代码将列表L从最小到最大排序。为了证明这个算法是正确的，我想我们可以用归纳法吗？提示是，调用

threewaysort（L，0，L.length-1）

实际上有使L排序的副作用

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但我目前正陷于归纳法证明的步骤中。

你确实可以使用归纳法。让我们使用符号Li，j来表示子数组，其中包含从L[i]到L[j]的项

基本情况 此归纳证明有两种基本情况：

j-i+1=1

这意味着Li，j中只有一个元素，因此它已经被排序了。如果条件为true，则两者都不

，因此不会发生任何事情：Li，j在调用
threewaysort（L，i，j）
后进行排序

j-i+1=2

Li，j中有两个元素。如果尚未排序，则第一个

If

条件为true，对

swap

的调用将有效地对Li，j进行排序。如果条件为false，则第二个

。所以Li，j在调用
threewaysort（L，i，j）

诱导步骤 我们得到了j-i+1>2的情形

现在Li，j中至少有3种元素。归纳证明让我们假设

threewaysort

对于较小的子阵列正确工作

我们暂时忽略可能执行的

交换

，只关注第二个

的主体（如果

），该主体将被执行：

t保证大于零

进行了三个递归调用：子数组Li，j-t，Li+t，j，以及Li，j-t

让我们定义一下：

A=Li，i+t-1
B=Li+t，j-t
C=Lj-t+1，j

这些是Li，j的非重叠相邻范围。A和C的尺寸都是t。B的大小至少为t（可以是t、t+1或t+2）。 让我们定义加号来表示两个子数组的并集。然后Li，j=A+B+C，递归调用实际上是对A+B，B+C进行排序，然后再对A+B进行排序

由于t是严格正的，A+B和B+C比A+B+C小，因此我们可以假设这些递归调用成功地对相应的子数组进行排序（归纳前提）

让我们看看A+B+C中的t最大值会发生什么情况。在第一次递归调用后，不在C中的值将最终在B中（回想一下，B的大小至少是t）。因此，我们确定t最大值都在B+C中。在第二次递归调用之后，我们可以确定所有这些t最大值都只能在C中找到

A+B+C中的t最小值也会发生类似的情况。在第一次递归调用之后，它们中的任何一个都不能再位于B中，但这并没有真正的帮助。在第二次递归调用之后，它们中的任何一个都不能再使用C语言了。在第三次递归调用之后，它们都不能在B中，因此它们都在A中

总结一下，我们得到：

• A被排序（因为在最后一次递归调用之后A+B被排序）
• B已排序（相同原因）
• C已排序（因为在第二次递归调用之后，B+C已排序，而在第三次调用期间未触及C）
• A具有来自A+B+C的最小值
• C具有A+B+C中的最大值
• B具有来自A+B+C的剩余值

这意味着A+B+C被排序

这就完成了归纳法的证明

更少的互换 该证明还表明，当数组的大小不同于2时，交换是可选的。因此，代码应该是正确的，如下所示：

void threewaysort(int[] L, int i, int j) {
    if (j - i + 1 > 2) {
        t = (j - i + 1) / 3;
        threewaysort(L, i, j - t);
        threewaysort(L, i + t, j);
        threewaysort(L, i, j - t);
    } else if (L[i] > L[j]) {
        swap(L, i, j);
    }
}

然而，执行原始代码中描述的交换平均会导致更少的交换（但更多的比较）

时间复杂性 首先，我们注意到，除了递归调用之外，所有其他语句都以常量时间执行

其次，递归调用是在大小大约小三分之一的数组上进行的

当n=j-i+1时，递推关系为：

f（n）=3·f（（2/3）n）
f（2）=f（1）=1

如果我们扩展递归，我们得到：

f（n）=32·f（（2/3）2n）=3k·f（（2/3）kn）

当k的选择使得（2/3）kn=2（或1）时，我们知道f（（2/3）kn）=1，并且该系数可以从表达式中省略：

f（n）=3k

现在我们必须用n来解析k：

（2/3）kn=2
k=log3/2（n/2）
k=log3（n/2）/log3（3/2）
k=2.7log3（n/2）

因此，现在我们有：

f（n）=3k
f（n）=（3log3（n/2））2.7
f（n）=（n/2）2.7

将时间复杂度设置为：

f（n）=O（n2.7）

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。。。相当低效的排序算法；效率低于气泡排序。

您确实可以使用归纳法。让我们使用符号Li，j来表示子数组，其中包含从L[i]到L[j]的项

基本情况 此归纳证明有两种基本情况：

j-i+1=1

这意味着Li，j中只有一个元素，因此它已经被排序了。如果条件为true，则两者都不

，因此不会发生任何事情：Li，j在调用
threewaysort（L，i，j）
后进行排序

j-i+1=2

Li，j中有两个元素。如果尚未排序，则第一个

If

条件为true，对

swap

的调用将有效地对Li，j进行排序。如果条件为false，则第二个

。所以Li，j在调用
threewaysort（L，i，j）

诱导步骤 我们得到了j-i+1>2的情形

现在有