Algorithm 计算重复整数置换的模

我想计算Ps

mod

K，其中Ps是集合S中元素唯一排列的总数。问题是，集合S可能有重复，因此Ps=n！/（f1！f2！…fn！），其中n是元素数，分母是S中每个元素频率的阶乘乘积

---

可以假定整数n非常大，比如说大约

10^6

，不太可能适合

uint64\t

。甚至可以不借助任意精度库计算Ps

mod

K？如果是，有什么快速的方法来计算吗？

以

9为例/（4！3！2！）

。这是

9.8.7.6   5.4.3   2.1
------- x ----- x ---
4.3.2.1   3.2.1   2.1

换句话说，它是3个二项式系数的乘积

9C4 x 5C3 x 2C2

。通过这种方式，你总是能够把它简化为二项式系数的乘积。你需要计算出这些二项式系数的模

K

，然后将答案乘以模

K

所以你需要一种有效的方法来计算二项式系数的模

K

我不知道这对于

n==10^6

来说有多可行，但这里给出了一种有效计算二项式系数mod

K

的方法：

---

如果要计算，例如n！modK，您不需要计算n第一。相反，你可以做一个这样的循环

result = 1
for(i = 2; i <= n; i++) {
  result = (result * i) % K
}

result=1
对于（i=2；i如果需要为许多Ps的值计算Ps
mod
K，那么明智的做法是为所有可能需要的n值预计算n！
mod
K（如果n≤ 106那么这是合理的）

此外，如果K是素数，则可以通过将要除以的数字的“”乘以来处理除法。例如，如果K=1000000007，则可以将其乘以500000004，而不是除以2

有几种方法可以计算它，最简单的方法是计算xK-2
mod
K（这要归功于）。然后，您还可以预先计算每个阶乘的模乘逆。然后，使用缓存值计算Ps
mod
K非常容易。
10^6适合
uint64\u t
。或者您的意思是
n！
不适合
uint64\u\code>？是的，
n！
不适合顺便说一句，如果n大约是
10^6！
，那么Ps
mod
K在大多数情况下都是0，除非K非常大。我假设
K
也不一定是素数？问题是这个问题涉及除法。如果你知道
n！
，
r！
和
（n-r）！
是模
K
，这不会告诉您
n！/（r！*（n-r）！）
模
K
，因为分母可能不是模
K
整数环的可逆元素。这是一个很好的观察结果！我要读那篇文章了。我一有工作实现就会回来。@methuselmurmu祝你好运。我想这会很难-我会做一个详细的搜索o查看库是否已执行此操作。日志链接已更新：