Algorithm 确定可以使用多少不同的阵列

假设我们有一个长度为X的布尔数组。唯一的规则是，TRUE不能在相邻位置出现两次。尤其是只允许使用假值的数组。例如，这是禁止的：[1,1,0,0,0]并且这些是允许的：[1,0,0,0,0]，[0,0,0,0]，[1,0,1,0,1]等等。我如何使用动态规划来确定长度X有多少个不同的有效数组？

我认为您可以不使用DP来计算这个数字。因为您知道长度为N的数组总数，所以它是'2^N'

现在您需要扣除那些不符合条件的

坏的
数组，如果它们有相邻的
1
。对于长度为N的数组，有以下情况

1. the array has no 1's, only one case, and it is a valid array
2. the array has one 1's, all cases are valid
3. the array has two 1's, there are N - 1 cases which are not valid
4. the array has three 1's, there are (N-1) * (N-2) / 2 cases which are not valid

…
设Ti为满足标准且以
1
结尾的长度为i的数组数，设Fi为满足标准且不以
1
结尾的长度为i的数组数

然后：


T0=0
F0=1
Ti+1=Fi。（每个长度为i+1且符合您的标准并以
1
结尾的数组由一个长度为i且不以
1
结尾的数组组成，最后再加上一个额外的
1
。）
Fi+1=Fi+Ti。（每个长度为i+1且符合您的标准且不以
1
结尾的数组由一个长度为i且符合您的标准的数组组成，最后加上一个额外的
0
。）
你想要FX+TX

所以你可以写一个循环，计算从0到X的每个i的Fi和Ti，然后返回FX+TX

（这本身甚至不是动态规划，因为不需要存储部分值；Fi+1和Ti+1仅依赖于Fi和Ti。因此这是O（X）时间和O（1）空间。）
dp解决方案将有两个状态参数。一个是数组的位置，另一个是前一个位置的值。如果上一个位置的值为1，则只能选择0。如果上一个位置的值为0，则可以选择1或0。希望这有帮助
 您并不真正需要动态编程。
对于数组长度X，有效数组的数目是Fib（X+1），其中Fib是fibonacci数的数组

X=1:有效数组：2

X=2:有效数组：3

X=3:有效数组：5

X=4:有效数组：8

等等

演示：

假设我们正在寻找X的数组，并且知道X-1的有效数组数。我们可以在每个X-1长度数组的末尾自由添加一个零，到目前为止，这就是F（X-1）。我们还可以在每个以0结尾的X-1数组的末尾添加一个“1”。但这些阵列有多少？这就是F（X-2），因为我们可以用同样的方法生成以零结尾的X-1长度数组：在每个X-2长度数组的末尾添加一个零。所以F（X）=F（X-1）+F（X-2）
这就是斐波那契数组的定义

我们所要做的就是手动计算前两个元素，确定它到底是斐波那契数组还是移位

你甚至可以找到一个公式来计算斐波那契数组的第n个元素，这样它就可以在O（1）中求解。
那么澄清一下：你的意思是
1
不允许出现在两个连续的元素中？你到目前为止做了什么？@jamesdlin确切地说也不会T0=1，因为其中没有连续的1？@saketk21：对不起，我不明白你的问题。（你的代词“it”指的是什么？）我所困惑的是基本情况。为什么T0=0和F0=1？因为它们的长度都是0，所以它们都应该是0。如果你认为长度1是基本情况，那么它们都应该是1，因为可能的数组是0和1，即T1＝1和F1＝1。@ SAKETK21：你问为什么空数组<代码> []/COD>不在<代码> 1 < /代码>中结束？还是你在问我为什么选择定义Tᵢ 由于只计算以
1
结尾的数组，您最近的评论帮助我弄清楚了这一点。我将F误解为长度I以0结尾的数组数，而不是以1结尾的数组数，这意味着空数组也被计算在F中。我们必须假设，对于OP来说，了解你是如何得出答案而不仅仅是知道答案是很重要的。如果你指的是Binet的第n个fibonacci数公式，那么这只是一个近似值，不是正确的结果。n次斐波那契数最多只能用O（logn）来计算，这行不通。例如，在长度为5, 2个连续数组的情况下，您考虑的是11xxx、x11xx、xx11x和xxx11。但是，x仍然可以取值0或1（除了在连续1个数较多的情况下处理的情况），我认为这是可行的。例如，N=5。案例1和案例2均有效。案例3将有4个无效案例。案例4将有4*3/2=6个无效案例。案例5 4*C（4,2）/3！=无效病例8例。案例6将有1个无效案例。所以它是2^5-（1+4+6+8）=13