Algorithm 如何通过归纳证明强连通有向图最多有2n-2条边？

我有一个强连通的有向图，但是去掉它的任何边会使图不再是强连通的

如何证明这样一个图的长度不超过2n− 2边？（其中n≥ (三)

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我已经搜寻文献好几天了，但似乎从未有过这样的证据。感谢您的任何提示。

这是不真实的。反例证明。 图有节点A、B和C

• A->B
• B->A
• A->C
• B->C
• C->B

这是紧密联系的

如果我删除了C->B，那么C是孤立的（你不能从中得到任何东西），并且不是强连接的。因此，我提供了一个图表：

是强连通的

具有超过2n-2个节点

如果删除一条边，它将不再是强连接的

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这是不真实的。反例证明。 图有节点A、B和C

• A->B
• B->A
• A->C
• B->C
• C->B

这是紧密联系的

如果我删除了C->B，那么C是孤立的（你不能从中得到任何东西），并且不是强连接的。因此，我提供了一个图表：

是强连通的

具有超过2n-2个节点

如果删除一条边，它将不再是强连接的

这里有一个提纲（省略细节以避免完全破坏考题）

证明了图G有一个简单的圈C

证明G中尾和头属于V（C）的弧都属于C

证明了G/C（通过收缩C中的每一条弧从G得到的图）是强连通的，并且证明了对于G/C中的所有弧e，子图G/C-e不是强连通的

通过强归纳得出结论，G最多有2 | V（G）|-2个弧

这里有一个提纲（省略细节以避免完全破坏考题）

证明了图G有一个简单的圈C

证明G中尾和头属于V（C）的弧都属于C

证明了G/C（通过收缩C中的每一条弧从G得到的图）是强连通的，并且证明了对于G/C中的所有弧e，子图G/C-e不是强连通的

通过强归纳得出结论，G最多有2 | V（G）|-2个弧

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据我所知，你可以用一个非常简单的算法来建设性地证明它，也许这有助于阐明归纳法的可能证明

首先选取一个任意节点r并从中运行BFS-得到的是一个有向树，它有n-1条边和n个顶点（都可以从r到达）

现在，从原始图获得转置图（G^T），然后再次从r运行BFS-您得到的是一个有向树，有n-1条边和n个顶点（都可以从r到达）

最后，检查后一棵树中的每条边，并将其（反向）添加到第一棵树中（仅当尚未在其中时）。这一步保证了r可以从图中的每个顶点到达，并且因为每个顶点都可以从r到达，所以得到的是一个强连通的生成子图

• 请注意，我们在第一棵树中添加了最多n-1条边，以n-1开头-因此在结果图中最多有n-1+n-1=2n-2条边

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据我所知，你可以用一个非常简单的算法来建设性地证明它，也许这有助于阐明归纳法的可能证明

首先选取一个任意节点r并从中运行BFS-得到的是一个有向树，它有n-1条边和n个顶点（都可以从r到达）

现在，从原始图获得转置图（G^T），然后再次从r运行BFS-您得到的是一个有向树，有n-1条边和n个顶点（都可以从r到达）

最后，检查后一棵树中的每条边，并将其（反向）添加到第一棵树中（仅当尚未在其中时）。这一步保证了r可以从图中的每个顶点到达，并且因为每个顶点都可以从r到达，所以得到的是一个强连通的生成子图

• 请注意，我们在第一棵树中添加了最多n-1条边，以n-1开头-因此在结果图中最多有n-1+n-1=2n-2条边

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除非你在业余时间做这件事是为了好玩，否则也许你应该加一个家庭作业标签。@heneryville这不是家庭作业，而是一个未回答的考试样题。我想了想，但找不到答案，也找不到更接近的证明。@toon81我认为用归纳法证明是合适的。。我不确定，也许也有矛盾。等等，这是一道考试题，但你不认为它曾经被证明过吗？是有证据，还是可能没有证据？在这种情况下，你可能需要证明没有证据，或者更糟。除非你在业余时间做这件事是为了好玩，否则也许你应该添加一个家庭作业标签。@heneryville这不是家庭作业，而是一个未回答的考试样题。我想了想，但找不到答案，也找不到更接近的证明。@toon81我认为用归纳法证明是合适的。。我不确定，也许也有矛盾。等等，这是一道考试题，但你不认为它曾经被证明过吗？是有证据，还是可能没有证据？在这种情况下，您可能需要证明相反，或者更糟的是，没有证据。没有路径C->a或C->B，因此它不是强连通的。@CaseyRobinson是的。你说得对。反例证明。我还列出了其中一条边两次。它现在看起来怎么样？@Jean BernardPellerin它有3个节点和5条边。5> 2*3-2.Oops，但它仍然存在，你不能只是删除任何边，使其不强连接，你刚刚找到一个边，当删除时，使其不强连接。尝试删除->