Algorithm 顶点覆盖的近似算法

如果

p

不等于

NP

是否可以证明在最佳顶点覆盖的

k

范围内没有近似算法，其中

k

是一个固定常数？

如果要从加性误差的角度来理解问题，则不存在这样的算法。针对一个矛盾，假设

a

就是这样一个算法；这意味着存在一个非负整数

k

，对于任何图形

G

A(G) <= tau(G) + k

坚持住。此外，我们得到以下结果

A(G') <= tau(G) + k
       = (k + 1) tau(G) + k

坚持住。这意味着

A(G') >= (k + 1) A(G*)
      >= (k + 1) (tau(G*) + k)
       = (k + 1) (tau(G) + k)
       = (k + 1) tau(G) + k + k^2
       > (k + 1) tau(G) + k

A(G*) < tau(G*) + k

保持，因为

k>0

保持。这与

a

的近似质量相矛盾。这意味着

A(G') >= (k + 1) A(G*)
      >= (k + 1) (tau(G*) + k)
       = (k + 1) (tau(G) + k)
       = (k + 1) tau(G) + k + k^2
       > (k + 1) tau(G) + k

A(G*) < tau(G*) + k

---

这是一个矛盾，因为

k

的选择最小，并且所有构造步骤都可以在多项式有界的运行时间内执行，从而导致运行时间界也是多项式有界的。

如果要从加性错误的角度来理解问题，则不存在这样的算法。针对一个矛盾，假设

a

就是这样一个算法；这意味着存在一个非负整数

k

，对于任何图形

G

A(G) <= tau(G) + k

坚持住。此外，我们得到以下结果

A(G') <= tau(G) + k
       = (k + 1) tau(G) + k

坚持住。这意味着

A(G') >= (k + 1) A(G*)
      >= (k + 1) (tau(G*) + k)
       = (k + 1) (tau(G) + k)
       = (k + 1) tau(G) + k + k^2
       > (k + 1) tau(G) + k

A(G*) < tau(G*) + k

保持，因为

k>0

保持。这与

a

的近似质量相矛盾。这意味着

A(G') >= (k + 1) A(G*)
      >= (k + 1) (tau(G*) + k)
       = (k + 1) (tau(G) + k)
       = (k + 1) tau(G) + k + k^2
       > (k + 1) tau(G) + k

A(G*) < tau(G*) + k

---

这是一个矛盾，因为

k

的选择最小，并且所有构造步骤都可以在多项式限定的运行时间内执行，导致运行时边界也是多项式边界。

在k范围内是指绝对误差还是相对误差？在k范围内是指绝对误差还是相对误差？