Algorithm 退化单纯形法

我正在阅读《算法设计与分析导论》一书中关于使用单纯形法的线性规划的内容

我理解课文有困难。这里是文本片段

标准格式的主要优点在于简单 它提供了一种机制，用以识别可行解的极值点 区域n中m方程问题的一般情况 未知数≥ m） ，n− m变量需要设置为零才能得到一个 m个未知数的m方程组。如果获得的系统具有 任意非退化线性方程组的唯一解 方程的个数等于未知数的个数，我们有 碱性溶液；其坐标在求解系统之前设置为零 被称为非基本，其坐标是通过求解 系统称为基本系统

我对上述文本的问题如下：

什么是非退化线性方程组

在上述上下文中，作者所说的独特解决方案是什么意思

正如作者所说，“对于在n个未知量（n≥ m） ，（n）− m） 变量需要设置为零，才能得到m个未知量的m个方程组。”因此，当你将（n-m）变量设置为零时，你将得到一个m个变量的m个方程组

让我用一个例子和基础数学来解释。假设m=2，方程组为：

x + y = 2 & x - y = 0

x + y + z = 3, x + y - z = 1, & x + y = 2

所以这个方程组有“唯一解”，其中

（x=1&y=1）

现在假设m=3，你的方程组是：

x + y = 2 & x - y = 0

x + y + z = 3, x + y - z = 1, & x + y = 2

在这种情况下，z=1且满足方程式x+y=2的任何点将满足所有方程式。例如，（x=1，y=1，&z=1），（x=2，y=0，&z=1）和（x=4，y=-2，&z=1）。在这里，对于这个方程组，你们有不止一个解，所以你们会说这个方程组有“多个解”

现在让我们来谈谈简并。假设你得到方程组的唯一解，如果你用m个变量求解m个方程组，你将得到所有m个变量的数值。如果这些m变量中的任何一个的数值等于零，你就会说解是退化的。通过非退化，作者认为所有变量在解中都有非零值。退化倾向于在达到最优解之前增加单纯形迭代次数

现在让我们谈谈单纯形法。假设将n个变量中的（n-m）设为零（正如作者所说），得到一个唯一的非退化解。你说这个解是基本解。但是他们在这里被抓住了，你不知道n个变量中的哪一个（n-m）变量必须设置为零才能找到最优解。从理论上讲，您将有n_组合（n-m）基本解需要评估。这就是单纯形法的帮助。它可以帮助您确定要设置为零的最佳变量集，以便找到最佳解决方案。一旦你将变量设置为零，并且你的简化方程组有唯一的解，那么这个方程组的解就是最优解

我希望有帮助：-）