Algorithm 合并搜索树并在其中查找元素

我在关于搜索树的算法和数据结构的理论作业中遇到了这个问题：

给定n个数字a1，…，an，最初每个数字都在自己的集合中。有两种类型的查询：

统一两套,

在特定集合中找到大于x的最小元素

在这些查询中，set由其元素的{ai}索引之一指定。任务是在O（n+qlog（n））时间内处理q查询

我曾尝试使用AVL树来存储集合的元素，但这种方法会导致O（n log（n））或O（n）合并时间，因此无法满足总体时间复杂度要求。目前，我只有以下几个想法（但实际上它们没有多大帮助）：

最多有n个unite查询

如果q>n，最终，我们需要构建一个包含所有n个{ai}元素的搜索树来处理类型（2）的最后（q-n）个查询。因此，首先用q来解决问题似乎是合理的≤ 然后自然地将解扩展到q>n

要创建一个包含（k+1）个元素的集合，至少需要k个合并操作（这很容易通过数学归纳证明），因此在处理查询的每个步骤中，我们只需要处理“不太大”的集合。这可能会产生一些严格的渐近估计

也许有一种方法可以在处理前先扫描几个查询，了解类型（2）查询中涉及哪些集合，然后只合并它们，而忽略其他unite请求

没有内存限制，因此这可能在某种程度上被滥用

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实际上，您使用自平衡二叉搜索树来表示集合的解决方案是正确的，您的想法（1）-（3）对于实现更严格的渐近界至关重要

最初设置集合是O（n），在每个集合中搜索（找到大于x的最小元素）是O（logn），因此q搜索的代价是O（qlogn）

现在让我们考虑合并操作。要合并大小为a和b的两个二叉搜索树，请将较小树的所有元素插入较大树。这可以在

O（最小（a，b）*log（最大（a，b）+1）中完成

但是，如果我们从单例集合开始，q连续合并操作的复杂性是什么？我们可以通过归纳法证明，对于q
因此，q合并操作的成本是q-1合并的成本加上最后一次合并的成本。根据归纳假设，q-1合并的成本是
O（（q-1）logn）

最后一次合并的成本是
O（min（a，b）*log（max（a，b）+1））
。但是
a
和
b
小于
q
，因此对于最后一次合并，我们得到了
O（q*log（q+1））的上界
。由于
q
，这是
O（qlogn）
的子集。因此，q合并操作的总成本是
O（（q-1）logn+qlogn）=O（qlogn）

因此，总的复杂度以O（n+q log n）为界。
联合两个集合是什么意思？它意味着合并初始族中的两个集合。例如，如果n=3，开始时我们有三个集合：{a1}，{a2}，{a3}，在unite（1，3）之后，新的集合是{a1，a3}，{a2}。如果下一个查询是smallestbiger（x=10，set=3），那么我们需要在{a1，a3}中找到大于10的最小元素。