Algorithm 如何求解这个递推关系：T（n）=4*T（sqrt（n））+；N

我知道如何用Master方法解决递归关系。 我还知道如何解决以下复发问题：

T（n）=sqrt（n）*T（sqrt（n））+n

T（n）=2*T（sqrt（n））+lg（n）

在上述两个递归中，递归树的每一级都有相同的工作量。递归树中总共有logn个级别

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我很难解决这个问题： T（n）=4*T（sqrt（n））+n

编辑：

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这里n是2的幂

我很难解决这个问题：T（n）=4*T（sqrt（n））+n

编辑：这里n是2的幂

这个编辑很重要。假设循环在2停止

现在的问题是递归树有多深。这就是在n变得足够小（比如，小于2）之前，可以求n的平方根的次数。如果我们写

n=2lg n

然后，在每个递归调用上，n将取其平方根。这相当于将上述指数减半，因此在k次迭代之后，我们得到

n1/（2k）=2lg n/（2k）

当这小于2时，我们要停止，给

2lgn/（2k）=2

lgn/（2k）=1

lgn=2k

lg n=k

因此，经过lgn次平方根迭代后，递归停止。（）

对于每个递归，我们将有4个新分支，分支总数为4^（树的深度），因此

4^（lgn）

编辑：

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我在解决这个问题时遇到了困难：T（n）=4*T（sqrt（n））+n

编辑：这里n是2的幂

这个编辑很重要。假设循环在2停止

现在的问题是递归树有多深。这就是在n变得足够小（比如，小于2）之前，可以求n的平方根的次数。如果我们写

n=2lg n

然后，在每个递归调用上，n将取其平方根。这相当于将上述指数减半，因此在k次迭代之后，我们得到

n1/（2k）=2lg n/（2k）

当这小于2时，我们要停止，给

2lgn/（2k）=2

lgn/（2k）=1

lgn=2k

lg n=k

因此，经过lgn次平方根迭代后，递归停止。（）

对于每个递归，我们将有4个新分支，分支总数为4^（树的深度），因此

4^（lgn）

编辑：

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假设n=2^k。我们有T（2^k）=4*T（2^k/2））+2^k。设S（k）=T（2^k）。我们有S（k）=4S（k/2）+2^k。利用Mater定理，我们得到了S（k）=O（2^k）。由于S（k）=O（2^k）和S（k）=T（2^k），T（2^k）=O（2^k），这意味着T（n）=O（n）。

假设n=2^k。我们有T（2^k）=4*T（2^k/2））+2^k。设S（k）=T（2^k）。我们有S（k）=4S（k/2）+2^k。利用Mater定理，我们得到了S（k）=O（2^k）。因为S（k）=O（2^k）和S（k）=T（2^k），T（2^k）=O（2^k），这意味着T（n）=O（n）。

我认为这属于理论上的CS堆栈交换位置。在任何情况下，您只需通过将原始方程替换回T（）并进行分布来“解开”递归关系。你这样做直到你观察到一个模式，然后你通常用“k”来定义这个模式。我得到了这个模式，但我无法解决它。。。！！我按照你建议的方式进行。我投票决定把这个问题作为离题来结束，因为它属于主题。或者其中一个CS站点。我认为这属于理论上的CS堆栈交换站点。在任何情况下，您只需通过将原始方程替换回T（）并分布来继续“解开”递归关系。你这样做直到你观察到一个模式，然后你通常用“k”来定义这个模式。我得到了这个模式，但我无法解决它。。。！！我按照你建议的方式进行。我投票决定把这个问题作为离题来结束，因为它属于主题。或者一个CS站点。你真的能在这里使用主定理吗，因为在这种情况下S（k/2）中的2不是常数？你真的能在这里使用主定理吗，因为S（k/2）中的2在这种情况下不是常数吗？请你至少加上几句话来解释你的答案好吗？请你至少加上几句话来解释你的答案好吗？

   T(n) = 4 T(sqrt(n)) + n
   4 [ 4 T(sqrt(sqrt(n) + n ] + n
   4^k * T(n^(1/2^k)) +kn because n is power of 2.
   4^k * T(2^(L/2^k)) +kn   [  Let n = 2^L , L= logn]
   4^k * T(2) +kn   [  Let L = 2^k,  k = logL = log log n]
   2^2k * c +kn
   L^2 * c + nloglogn 
   logn^2 * c + nloglogn
   = O(nloglogn)

T(n) = 4T(√n) + n 
suppose that (n = 2^m) . so we have :
T(2^m) = 4T(2^(m/2)) + (2^m)
now let name T(2^m) as S(m):
S(m) = 4S(m/2) + m . now with master Method we can solve this relation, and the answer is :
S(m) = Θ(m^2) 
now we step back to T(2^m):
T(2^m) = Θ((2^m)^2)
now we need m to solve our problem and we can get it from the second line and we have :
n = 2^m   =>   m=lgn 
and the problem solved .
T(n) = Θ((2^lgn)^2)
T(n) = Θ(n^2)