Algorithm 三角函数的值域约化

我正在尝试实现三角函数的范围缩减。 我找到了这篇关于使用64位整数算法的论文

提出的想法应该行得通，但论文中的方程似乎存在一些问题。

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这比在fdlibm中实现的有效吗？

如果您想执行完整的浮点范围缩减，请参考K.C.Ng的“大参数的参数缩减：好到最后一位”在web上很容易找到

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突出的问题是，要对标准trig函数（如正弦（x））进行范围缩减，其中x以弧度表示，必须进行精确的

mod

操作，包括Pi。

mod

需要将4/Pi扩展到足够多的派系位，以获得有意义的结果。本文详细介绍了这一过程以及需要走多远。事实证明，它是潜在的100位，但不是数百万位。您可能知道这个问题，但如果不知道，您需要知道如何使用64位例程或其他方法进行良好的缩减。

您说“论文中的公式似乎有问题”-有什么问题？我无法阅读链接中引用的论文；在付费墙后面。你能改写这个问题，让其他（非学术）人有可能回答你的问题吗？在什么非人为的情况下，“超精确”三角范围缩减真的有用吗？当然，在我所看到的大多数trig函数的使用案例中，参数的计算需要乘以分数884279719003555/281474976710656（最接近于π的

double

或使用该分数计算的其他值。如果使用Math.PI执行参数缩减，则类似于

Math.sin（Math.PI/180.0*x）

的表达式会将180°的自转角报告为零；使用π进行变元缩减并不能提高精度。在大变元的变元缩减中提出的“超精确”三角范围缩减的一个理由是：好到最后一位是，实现函数（如

sine（double x）

）不知道精度需要。使用函数（如sqrt（））编写代码时，不要期望得到许多ULP关闭的答案，而是可能的最佳答案。与wise中的

sine（）

一样，所讨论的方法提供了一种在整个

x

范围内提供高精度的方法。大多数应用程序不需要这样做。本文讨论了更合理的问题，建议阅读它以获得更好的答案。@supercat”表达式，如Math.sin（Math.PI/180.0*x），如果使用Math.PI执行参数缩减，则会将180°的自（sic）报告为零：True。但这不是最好的答案，因为

Math.sin（Math.PI）

不是0.0。e、 g.

sin（我的系统上的3.14159265358979311600/*Math.PI*/）-->1.224647e-16

1.224647e-16

与0.0的绝对值相差很小，但由于FP是典型的对数分布，它比0.0要好得多。如果将某个值乘以一个被认为[但不能]等于π的常数来计算

sin

的参数，如果使用乘法中被认为是π的任何值来执行范围缩减，则将获得最佳精度。假设8087有一条指令加载一个值为π的寄存器，该值精确到64位，它将使用该64位值执行范围缩减。当与值乘以52位近似值pi的代码一起使用时，可通过对该值执行范围缩减来获得最佳精度。

Math.Sin（180.0*（Math.pi/180.0））

不是零这一事实应归类为可容忍的怪癖，而不是特征，因为180°的正弦不是1.224647e-16，但应该精确地为零。此外，除非代码碰巧知道sine的参数表示精确值，而不是+/-0.0000000000000000 1%（ulp的1/1000），否则sin（x）的任何报告值（介于0.99999999999999999x的正弦值和1.0000000000000000001x的正弦值之间）应视为与任何其他值一样好。除非参数是用Kahan求和计算的。。。