Math 主定理；复发

我想了解如何解决此代码的主定理：

unsigned long fac (unsigned long n ) {
    if (n == 1 )
        return 1;
    else
        return fact(n-1)*n;
}

基于我只有一次称自己为a=1的事实。除了这个函数调用之外，没有其他东西，所以O（n）=1。现在我正在努力学习b。通常，一般公式为：

T（n）=a*T（n/2）+f（n）

在这种情况下，我不划分主要问题。新问题只需解决n-1现在b是什么？因为我的重复会是：

T（n）=1*T（n-1）+O（1）

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既然我不知道确切的b，我现在怎么能使用主定理呢？

主定理不适用于这种特殊的递推关系，但没关系——它不应该适用于任何地方。最常见的是，主定理出现在分治式的重复出现中，将输入分割成块，这些块是输入原始大小的常量部分，而在这种特殊情况下，情况并非如此

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要解决此递归，您需要使用另一种方法，如迭代法或以不同的方式查看递归树的形状。

主定理不适用于此特定的递归关系，但这没关系-它不应该适用于任何地方。最常见的是，主定理出现在分治式的重复出现中，将输入分割成块，这些块是输入原始大小的常量部分，而在这种特殊情况下，情况并非如此

要解决此递归问题，您需要使用另一种方法，如迭代法或以不同的方式查看递归树的形状。

您可以使用变量更改来“欺骗”

设

T（n）=S（2^n）

。然后复发说

S(2^n) = S(2^n/2) + O(1)

我们重写了它

S(m) = S(m/2) + O(1).

根据a=1，b=2的主定理，解是对数的

S(m) = O(log m),

也就是说

T(n) = S(2^n) = O(log 2^n) = O(n).

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无论如何，使用

T(n) = T(n-1) + O(1) = T(n-2) + O(1) + O(1) = ... = T(0) + O(1) + O(1) + ... O(1) = O(n).

你可以通过改变变量来“作弊”

设

T（n）=S（2^n）

。然后复发说

S(2^n) = S(2^n/2) + O(1)

我们重写了它

S(m) = S(m/2) + O(1).

根据a=1，b=2的主定理，解是对数的

S(m) = O(log m),

也就是说

T(n) = S(2^n) = O(log 2^n) = O(n).

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无论如何，使用

T(n) = T(n-1) + O(1) = T(n-2) + O(1) + O(1) = ... = T(0) + O(1) + O(1) + ... O(1) = O(n).

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真聪明！出于好奇，在做这个把戏时，你不需要比主定理通常提供的更精确的对数基数，因为常数因子会转化为多项式指数的差吗？@templatetypedef：我留下了一个隐式的基数是2，但这并不重要，因为O符号有一个隐藏因子。在任何情况下，行为都是线性的。这很聪明！出于好奇，在做这个把戏时，你不需要比主定理通常提供的更精确的对数基数，因为常数因子会转化为多项式指数的差吗？@templatetypedef：我留下了一个隐式的基数是2，但这并不重要，因为O符号有一个隐藏因子。在任何情况下，行为都是线性的。