Math 三维空间中的圆交点

我有两个圆，每个圆由中心点c=（x，y，z）半径r和法向量n=（x，y，z）（垂直于圆的平面）定义

如何计算两个这样的圆的交点（不一定在同一平面上）

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如果没有交点，但这些圆不是平行的，那么如果增加或减小半径直到它们接触，如何获得这些圆相交的点？

如果

n1 x n2=0

则法向量（反）共线，平面平行

如果圆点（c1-c2，n1）=0，则它们是相同的，否则圆相交是不可能的

在同一平面上有两个圆的情况。我假设

r2>=r1

cdiff = (c1-c2)
cdifflen = cdiff.Length 

if cdifflen > r1 + r2 then no intersection
if cdifflen = r1 + r2 then intersection exists in one point
p = (c1 * r2  + c2 * r1) / (r1 + r2)

if cdifflen < r2 - r1 then no intersection
if cdifflen = r2 - r1 then intersection exists in one point
p = (c1 - c2) * r2 /(r2 - r1)

otherwise there are two intersection points
cdiffnorm = cdiff.Normalized //unit vector
cdiffperp = cdiffnorm * n1.Normalized
q = cdifflen^2 + r2^2 - r1^2
dx = 1/2 * q / cdifflen
dy = 1/2 * Sqrt(4 * cdifflen^2 * r2^2 - q^2) / cdifflen 
p1,2 = c1 + cdiffnorm * dx +/- cdiffperp * dy

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可以使用（文件

gteintplane3.h

）找到该线的基点。然后检查两个圆与该线的交点，并比较交点（如果存在）。

如果

n1 x n2=0

则法向量（反）共线，平面平行

如果圆点（c1-c2，n1）=0，则它们是相同的，否则圆相交是不可能的

在同一平面上有两个圆的情况。我假设

r2>=r1

cdiff = (c1-c2)
cdifflen = cdiff.Length 

if cdifflen > r1 + r2 then no intersection
if cdifflen = r1 + r2 then intersection exists in one point
p = (c1 * r2  + c2 * r1) / (r1 + r2)

if cdifflen < r2 - r1 then no intersection
if cdifflen = r2 - r1 then intersection exists in one point
p = (c1 - c2) * r2 /(r2 - r1)

otherwise there are two intersection points
cdiffnorm = cdiff.Normalized //unit vector
cdiffperp = cdiffnorm * n1.Normalized
q = cdifflen^2 + r2^2 - r1^2
dx = 1/2 * q / cdifflen
dy = 1/2 * Sqrt(4 * cdifflen^2 * r2^2 - q^2) / cdifflen 
p1,2 = c1 + cdiffnorm * dx +/- cdiffperp * dy

可以使用（文件

gteintplane3.h

）找到该线的基点。然后检查两个圆与该线的交点，并比较交点（如果存在）