Math 有限域内的逆

我正在读一本关于密码学的书（我试着将术语从西班牙语翻译成英语），但我不明白如何在这个字段中计算逆（最初的问题使用术语“body”而不是“field”，因为这是西班牙语或德语等语言的直译）

通过纯抽取使用单字母替换进行加密：

• 等价物：
• Ci：加密的信件
• a:抽取常数
• Mi:没有加密的消息
• mod：模块操作（我们获得剩余部分）
• n：加密字母表中的字母数
• 西班牙语字母表：ABCDEFGHIJKLMNñopqrstuvzxy

·加密：Ci=a*Mi mod n 例如-->我们将用a=20和西班牙语alphabet（n=27）对字母C（C是位置2，从0开始）进行加密-->Ci=20*C mod 27=20*2 mod 27=13=>n

·解密：a^（-1）*Ci mod n

问题出在这里

a^（-1）是主体n中抽取因子的倒数；换句话说：逆（a，n）。我在谷歌上搜索并尝试进行一些计算，但我没有得到正确的结果--->逆（a，n）=逆（20，27）=16（gcd是有效的）

例如：

22^（-1）*13模块2716

要在示例中找到模（乘法）逆，必须找到

x

，这样

（22*x）%27==1

有一种方法，你可以从数学上做到这一点。请注意，一般情况下，只有当

gcd（a，n）=1

时，才存在反向

如果要为示例编写简单算法，请尝试以下Python代码：

def inverse(a, n):
    for x in range(n):
        if (a * x) % n == 1:
            return x

这使得：

>>> inverse(22, 27)
16

>>> inverse(20, 27)
23

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正如您的问题下面的评论中所提到的，在您最喜欢的编程语言的现有库中，很可能有更好的函数用于计算模逆。

它是22,27，但OK:D.完美。但我不明白为什么我用Python时，C#。。。“（22^（-1））%27”结果不是16，但在Wolfram Alpha中是：^%28-1%29+mod+27一些想法？使用^会导致问题。在那些编程语言中，它意味着其他的东西，Wolfram Alpha可以用第三种方式解释^-1。在素数顺序字段中反转最简单的方法（如果没有专门的函数）是计算

x^（p-2）mod p

。在C#中，您将使用

biginger.ModPow（x，p-2，p）

虽然存在顺序为3^3=27的字段，但它们不是使用模运算实现的。所以你所从事的只是一个圈子而不是一个领域。还要注意的是，只有GCD（x，模数）=1的元素才会有一个逆矩阵。e、 没有3模27的倒数。太好了！但是一个疑问：为什么在密码学中，乘法的倒数是“（a*x）mod n==1”，而除法是否定的？没问题！为了回答你的问题，乘法和除法本质上是相同的运算：当你找到一个数的乘法逆

a

时，你所做的就是找到另一个数

x

，这样

a*x==1

。例如，如果

a=2

，我们通常建议

x=1/2

作为反比。然而，我们不能在模运算中选择非整数。在您的示例中，我们仅限于从整数0、1、2、…、25、26中查找x的逆。相反，我们可以选择

x=14

，因为

2*14=28=1 mod 27

，所以在这种情况下14是2的乘法逆。*对不起，应该是这样的：我们只能从整数0，1，2，…，25，26中寻找

a的逆。