Math 为什么十进制数不能用二进制精确表示？
关于浮点表示法，SO上已经发布了几个问题。例如，十进制数0.1没有精确的二进制表示，因此使用==运算符将其与另一个浮点数进行比较是危险的。我理解浮点表示背后的原理 我不明白的是，为什么从数学的角度来看，小数点右边的数字比左边的数字更特殊 例如，数字61.0具有精确的二进制表示，因为任何数字的整数部分总是精确的。但数字6.10并不准确。我所做的只是把小数点移动一位，突然我从精确到了不精确。从数学上讲，这两个数字之间应该没有本质上的区别——它们只是数字 相比之下，如果我将小数点朝另一个方向移动一位来生成数字610，我仍然处于Exactopia状态。我可以继续朝那个方向走，6100，6100，6100，6100，6100，6100，但它们仍然是精确的，精确的，精确的。但一旦小数点超过某个阈值，数字就不再精确 发生什么事了 编辑：为了澄清，我不想讨论行业标准表示法，比如IEEE，而坚持我认为的数学纯方法。在基准10中，位置值为：Math 为什么十进制数不能用二进制精确表示？,math,floating-point,Math,Floating Point,关于浮点表示法，SO上已经发布了几个问题。例如，十进制数0.1没有精确的二进制表示，因此使用==运算符将其与另一个浮点数进行比较是危险的。我理解浮点表示背后的原理 我不明白的是，为什么从数学的角度来看，小数点右边的数字比左边的数字更特殊 例如，数字61.0具有精确的二进制表示，因为任何数字的整数部分总是精确的。但数字6.10并不准确。我所做的只是把小数点移动一位，突然我从精确到了不精确。从数学上讲，这两个数字之间应该没有本质上的区别——它们只是数字 相比之下，如果我将小数点朝另一个方向移动一位来
... 1000 100 10 1 1/10 1/100 ...
... 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 ...
一些浮点小数点类型具有固定大小，如System。decimal其他类型，如java.math.BigDecimal，其大小是任意的，但它们在某个点上会达到一个极限，无论是系统内存还是数组的理论最大大小。然而，这与这个答案的主要观点是完全不同的。即使你有一个真正任意大数量的位可以玩，你仍然不能用浮点二进制表示法精确地表示十进制0.1。与另一种方法相比：给定任意数量的十进制数字，您可以精确地表示任何可以精确表示为浮点二进制点的数字。如果您用浮点来表示足够大的数字，就像它可以表示指数一样，那么您也将以小数点前面的不精确性结束。所以我不认为你的问题是完全正确的，因为前提是错误的；移位10并不总是会产生更高的精度，因为在某些点上，浮点数必须使用指数来表示数字的大，这样也会失去一些精度。BCD--表示是精确的。它们的空间效率不高，但在这种情况下，这是一个必须权衡的准确性问题。问题是，您不知道该数字是否正好是61.0。考虑这一点：
c的值是多少？它不完全是61，因为b不是真的。1，因为.1没有精确的二进制表示。根数学原因是，当你处理整数时，它们是可数无限的 这意味着，即使它们的数量是无限的，我们也可以计算出序列中的所有项，而不会跳过任何项。这意味着，如果我们想得到列表中第61000000000000位的项目，我们可以通过公式计算出来 然而，实数是不可数无限的。你不能说给我61000000000000的真实数字然后回来 答案。原因是，即使在0和1之间，当您考虑浮点值时，值的数量也是无限的。这同样适用于任意两个浮点数 更多信息： 更新：
很抱歉，我似乎误解了这个问题。我的回答是为什么我们不能表示每个实数，我没有意识到浮点被自动归类为有理数。数字61.0确实有一个精确的浮点运算，但并非所有整数都是这样。如果您编写了一个循环，将双精度浮点数和64位整数都加上一个，那么最终您将达到一个点，即64位整数完美地表示一个数字，但浮点却没有，因为没有足够的有效位 要达到小数点右侧的近似值要容易得多。如果你开始用二进制浮点数写出所有的数字，这会更有意义
另一种思考方式是，当你注意到61.0是以10为基数的完美表示，小数点的前后移动并没有改变这一点，你正在执行10的10^1，10^1的幂的乘法。在浮点运算中，乘以二的幂不会影响数字的精度。试着取61.0，反复将其除以3，以说明一个完全精确的数字是如何失去精确的表示形式的。同样的原因是，你不能以10为基数精确表示1/3，你需要说0.333。在二进制中，这是同一类型的问题，但只适用于不同的数字集。有理数的数量是无限的，表示它们的位数是有限的。请参阅。有一个阈值，因为数字的含义已从整数变为非整数。代表61，你有6*10^1+1*10^0；10^1和10^0都是整数。6.1是6*10^0+1*10^-1，但10^-1是1/10，这绝对不是整数。这就是你最终陷入不精确境地的原因。平行线可以由分数和整数组成。有些分数，如1/7，如果没有很多小数，就不能用十进制表示。因为浮点是基于二进制的，所以特殊情况会发生变化，但同样的精度问题也会出现。你知道整数，对吗？每一位代表2^n 2^4=16 2^3=8 2^2=4 2^1=2 2^0=1 对于有一些区别的浮点也是一样的，但是位代表2^-n 2^-1=1/2=0.5 2^-2=1/2*2=0.25 2^-3=0.125 2^-4=0.0625 浮点二进制表示： 符号指数分词我认为不可见的1被加到分数后面
B11B10 B9 B8B7 B6 B5 B4 B3 B2 B1 B0注意：我将在此处附加“b”以表示二进制数。所有其他数字均以十进制表示 思考问题的一种方式是用科学符号之类的东西。我们习惯于看到用科学符号表示的数字，如6.022141*10^23。浮点数在内部使用类似的格式存储-尾数和指数，但使用二的幂而不是十的幂 您的61.0可以重写为1.90625*2^5，或者使用尾数和指数重写为1.11101b*2^101b。要将其乘以10并移动小数点，我们可以执行以下操作： 1.90625*2^5*1.25*2^3=2.3828125*2^8=1.19140625*2^9 或以二进制表示尾数和指数： 1.11101b*2^101b*1.01b*2^11b=10.0110001b*2^1000b=1.00110001b*2^1001b 注意我们在那里做了些什么来乘以这些数字。我们乘以尾数，加上指数。然后，由于尾数结束时大于2，我们通过碰撞指数来规范化结果。这就像我们在十进制科学记数法中对数字进行运算后调整指数一样。在每种情况下，我们处理的值都有一个有限的二进制表示，因此基本乘法和加法运算输出的值也会产生一个有限表示的值 现在，想想我们如何把61除以10。我们首先将尾数除以1.90625和1.25。在十进制中，这是1.525，一个很好的短数字。但是如果我们把它转换成二进制，这是什么呢？我们将使用通常的方法-尽可能减去2的最大幂，就像将整数小数转换为二进制一样，但我们将使用2的负幂： 1.525 - 1*2^0 --> 1 0.525 - 1*2^-1 --> 1 0.025 - 0*2^-2 --> 0 0.025 - 0*2^-3 --> 0 0.025 - 0*2^-4 --> 0 0.025 - 0*2^-5 --> 0 0.025 - 1*2^-6 --> 1 0.009375 - 1*2^-7 --> 1 0.0015625 - 0*2^-8 --> 0 0.0015625 - 0*2^-9 --> 0 0.0015625 - 1*2^-10 --> 1 0.0005859375 - 1*2^-11 --> 1 0.00009765625... 哦。现在我们有麻烦了。事实证明，1.90625/1.25=1.525是一个重复的分数，当用二进制表示时：1.11101b/1.01b=1.10000110011…b我们的机器只有这么多的位来保存尾数，所以它们只需对分数进行四舍五入，并在某个点之外假设零。将61除以10时看到的错误是： 1.10000110011…b*2^10b 比如说： 1.100001100110B*2^10b 这是t的四舍五入 尾数会导致与浮点值相关的精度损失。即使尾数可以精确表示，例如，仅添加两个数字时，如果尾数需要太多的数字才能在标准化指数后拟合，我们仍然可以得到数字损失
实际上，当我们将十进制数四舍五入到一个可管理的大小，并且只给出它的前几个数字时，我们一直在做这种事情。因为我们用十进制表示结果，所以感觉很自然。但是，如果我们将一个小数点四舍五入，然后将其转换为另一个基数，它看起来就像我们通过浮点四舍五入得到的小数一样难看。这是一个好问题 你所有的问题都是基于我们如何表示一个数字 所有数字都可以用十进制表示或二进制2的补码表示。全都是 但是，其中大多数要求无限多的元素0或1表示二进制位置，或0、1到9表示十进制位置 像十进制的1/3，1/3=0.3333。。。 例如，数字61.0具有精确的二进制表示，因为任何数字的整数部分总是精确的。但数字6.10并不准确。我所做的只是把小数点移动一位，突然我从精确到了不精确。从数学上讲，这两个数字之间应该没有本质上的区别——它们只是数字 让我们暂时离开基数10和基数2的细节。让我们来问一下——在基数b中，哪些数字有终止表示，哪些数字没有？片刻的思考告诉我们，一个数字x有一个终止的b-表示，当且仅当存在一个整数n，使得xb^n是一个整数 例如，x=11/500有一个终止的10表示，因为我们可以选择n=3，然后选择xb^n=22，一个整数。然而，x=1/3不能，因为无论我们选择什么n，我们都无法摆脱3 第二个例子促使我们思考因子，我们可以看到，对于任何假设为最低条件的有理x=p/q，我们可以通过比较b和q的素因子来回答这个问题。如果q有任何不在b的素因子分解中的素因子，我们将永远无法找到合适的n来去除这些因子 因此，对于基数10，q具有除2或5以外的素数因子的任何p/q将不具有终止表示 现在回到基数10和基数2，我们看到，当q的素因式分解中只有2和5时，具有终止10表示的任何有理数都将是形式p/q；当q在其素因子分解中只有2时，同样的数将有一个终止的2-表示 但其中一种情况是另一种情况的子集！无论何时 q的素因式分解只有2 显然，这也是事实 q的素因式分解只有2和5 或者，换句话说，只要p/q有一个终止的2-表示，p/q就有一个终止的10-表示。反之则不成立——只要q在其素因子分解中有一个5，它将有一个终止的10表示，而不是终止的2表示。这是其他答案中提到的0.1示例 这就是你问题的答案-因为2的素数因子是10的素数因子的子集，所有2-终止数都是10-终止数，但不是相反。不是61比6.1，而是10比2
作为结束语，如果有人使用base 17，但我们的计算机使用base 5，那么你的直觉永远不会被这一点引入歧途——在这两种情况下都不会有非零、非整数终止 上面的高分答案很准确 首先你在问题中混合了基数2和基数10，然后当你把一个不能被基数整除的数字放在右边时，你会遇到问题。比如十进制中的1/3，因为3不等于10的幂，或者二进制中的1/5不等于2的幂
另一个注释是句号，尽管它从不与浮点数相等。即使它是一个精确的表示形式，但在某些浮点系统中，有些数字可以用多种方式精确表示IEEE在这方面做得不好，它从一开始就是一个可怕的浮点规范，所以请期待令人头痛的问题。这里没有区别1/3不等于计算器上的数字0.3333333，不管小数点右边有多少个3。它是或可以足够接近，但不相等。所以你会认为2*1/3不等于2/3，这取决于四舍五入。永远不要使用等于浮点。重复我在对Skeet先生的评论中所说的话：我们可以用十进制表示1/3、1/9、1/27或任何有理数。我们通过添加一个额外的符号来实现。例如，在数字上重复的一行 数字的十进制扩展。我们需要将十进制数表示为一个二进制数序列，1是一个二进制数序列，2是一个基数点，3是表示序列重复部分的其他符号 Hehner的引号表示法就是这样做的一种方法。他使用引号符号来表示序列的重复部分。文章：和维基百科条目：
没有任何东西表明我们不能在表示系统中添加符号，因此我们可以使用二进制引号表示法精确地表示十进制有理数，反之亦然。我很惊讶，现在还没有人这样说：使用。这样，任何有理数都可以用二进制有限表示 一些例子： 1/30.3333
0; 3
0; 1, 1, 4
0; 4, 3, 3
0; 2, 31, 7, 8, 5
3; 7, 15, 1, 292 ...
3; 7, 15, 1, 292 ...
这是一个很好的有理近似值。正如我们所讨论的，在浮点运算中，十进制0.1不能完全用二进制表示 浮点和整数表示为表示的数字提供网格或晶格。计算完成后，结果会从网格上掉下来，必须通过四舍五入将其放回到网格上。示例是二进制网格上的1/10 如果我们像一位先生建议的那样使用二进制编码的十进制表示法，我们能把数字保留在网格上吗？在等式中
2^x = y ;
x = log(y) / log(2)
2^1, 2^0, 2^(log(1/2) / log(2)), 2^(log(1/4) / log(2)), 2^(log(1/8) / log(2)),2^(log(1/16) / log(2)) ........
2^5 + 2^(log(0.4) / log(2)) + 2^(log(0.01) / log(2))
一个简单的答案是：计算机没有无限的内存来存储分数，因为它将十进制数表示为科学记数法的形式。根据IEEE 754双精度浮点数标准，存储分数的限制只有53位。
更多信息：这是一个非常好的例子，先生！。。。但愿我能投两次票。我已经被问了太多次了。这几乎就像人们不能在10垒之外思考。呵呵，世界上有10种人——懂二进制和不懂二进制。@JonSkeet:Ctrl+Alt+Delete只用两个手指看起来很尴尬。@muusbolla:No。十进制表示法1和十进制表示法0.9表示的数字。。。小数点后无限重复的9等于。也许最简单的方法是：让x=0.9。。。。请注意，10x=9.9。。。。。因此9x=10x-x=9.9…-0.9... = 所以9x=9，x=1。有其他的方法可以看出这一点，但我相信这是最简单的。实际上，有理数是可数无限的。但并非每个实数都是有理数。我当然可以产生一个精确的十进制数序列，它最终会达到你们想要给我的任何精确的十进制数。如果你也需要处理无理数，你就会进入不可数的无穷集合。没错，我应该说的是实数，而不是浮点。在哪一点上，逻辑变得不那么适用，依我看——因为我们不仅不能用二进制浮点数来处理所有实数，而且我们甚至不能处理所有有理数，比如0.1。换句话说，我不认为这真的与可数性有关：@jonskeet我知道不同意Jon Skeet会破坏一条基本的自然法则，所以我当然不会这么做：但是，我认为可以把数字的内部表示看作是一组外部表示的值的索引。按照这种思路，你可以看到，无论你的索引列表有多大，即使你有无限的精度，你仍然无法表示所有的实数。@TM：但OP并不是要表示所有的实数。他试图表示所有精确的十进制数，它是有理数的一个子集，所以只能是可数无限的。如果他使用一组无限位作为十进制浮点类型，那么他就没事了。使用这些位作为二进制浮点数类型会导致十进制数出现问题。但是，即使有无限多的位，如果使用二进制浮点数，仍然无法准确表示0.1，就像无法表示一样
即使有无限位数，也能准确地发送1/3的小数。@Jon这是不正确的：有无限位数的小数，我可以准确地表示“三分之一”。现实世界的问题是，在物理上不可能有无穷多的小数或位。BCD与任何其他基都不一样精确。示例：如何在BCD中精确表示1/3？不能。BCD是十进制的精确表示，因此它的名称的小数部分。1/3也没有精确的十进制表示法。你可以将1/3表示为分数本身。您不需要无限多的位来表示它。你只需要把它表示成分数1/3，而不是取1除以3的结果。有几个系统是这样工作的。然后你需要一种方法来使用标准的/*+-和类似的运算符来处理分数的表示，但是这很简单-你可以用纸和笔来完成这些操作，教计算机来做也没什么大不了的。我说的是二进制2的补码表示法。因为，当然，使用另一种表示法可能有助于你用有限个元素来表示一些数字，而你将需要无限个元素来表示另一些符号系统，如果我们知道循环的开始和结束。人类非常擅长检测周期。但是，一般来说，计算机不是。为了有效地使用重复符号，计算机必须能够计算出循环在哪里。例如，对于数字1/3，循环立即开始。但是对于数字1/97，只有在你算出至少96位的答案后，循环才会显示出来。事实上，你需要96*2+1=193个数字才能确定。事实上，计算机检测周期一点也不难。如果你读过Hehner的论文，他描述了如何检测各种算术运算的周期。例如，在使用重复减法的除法算法中，当你看到之前看到的差异时，你就知道循环从哪里开始。此外，问题是如何准确地表示数字。有时精确的表示意味着大量的位。引号表示法的美妙之处在于，Hehner证明，与标准的32位固定长度表示法相比，表示法的大小平均节省了31%。当然，十进制数字。但这只是定义。不能用十进制表示1/3，正如不能用二进制表示0.1一样。任何量化方案对于无限大的一组数字都是失败的。但你如何用二进制表示呢？例如，15需要表示4位，而292需要表示9位。硬件甚至软件如何知道位边界在哪？这是效率与精度的折衷。您可能会发现这有助于准确理解浮点数字中的情况：。在二进制中，数字3表示为2ª+2°=2+1。又好又容易。现在，看看1/3。你怎么用2的负幂来表示呢？做一点实验，你会发现1/3等于无限序列2^-2+2^-4+2^-6+2^-8+的和，也就是说，用二进制表示不那么容易。Jon Skeet很好地回答了你体内的问题。缺少的一件事是你实际上问了两个不同的问题。题目是为什么十进制数不能用二进制精确表示？答案是，他们可以。在标题和正文之间，您将二进制和浮点表示的概念混为一谈。浮点数是一种以精度为代价，用固定数量的二进制数字表示十进制数的方法。二进制只是一个不同的计数基数，可以表示任何数字，只要给定无限位数，十进制就可以。有几种系统都有精确的十进制表示。它的工作原理和你描述的差不多。SQL十进制类型就是一个例子。LISP语言内置了它。有几个商业和开源库可以使用精确的十进制计算。只是没有硬件支持，而且大多数语言和硬件都实现了IEEE标准，用32位或64位表示无限多的数字。这个问题似乎是离题的，因为它是关于数学的，即使是与编程相关的数学，也会更好，那么为什么alert0.15*0.15显示0.0225？@MichaelGeiser简短回答：在显示点舍入。您认为的0.15实际上存储为IEEE双精度'0.149999999999448884876874'。请参阅。非常清晰的点代码示例！我希望我能投你一票！我必须使用一些函数来探索舍入截止发生的位置。我仍然很惊讶，我们竟然要处理这些垃圾；因为人们几乎100%的时间都在以10为基数工作，而我们使用非整数的时间太多了，以至于你会认为
“浮点数学的默认实现可以处理这种胡说八道。@MichaelGeiser使用base 2的电路比使用base 10的电路更小、更快、更节能。今天，我们也许能够证明这一开销是合理的，但在20世纪70年代，当制定标准时，这是一件大事。在没有处理器电路直接支持的情况下尝试这样做更糟糕，除了速度上的数量级差异之外。这个答案比Jon Skeet自己解释得更好！
2^5 + 2^(log(0.41) / log(2))