Math 罗素'；s悖论

设X为不包含其自身的所有集合的集合。X是X的成员吗？

在标准（Zermelo-Fraenkel+选择公理）集合论中，这个问题是不适定的，因为这样定义的对象不是集合

由于（再次假设标准ZFC）您的类{x:x\not\in x}不是一个集合，因此答案为否，它不是自身的元素（即使作为一个类），因为只有集合可以是类或集合的元素

顺便说一句，一旦你同意了，任何集合都不能是它自己的元素

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当然，数学的好东西是你可以选择任何你想要的公理：但是相信悖论是很奇怪的。

<强> ZFC ，无论是[公理]的公理或理解的公理（方案）都会禁止这一点。第一，原因显而易见；第二，因为它基本上说，对于给定的z和一阶属性P，你可以构造{x∈ z:P（x）}，但要生成Russell集，需要z=V（所有集的类），它不是一个集（即不能从任何给定的公理生成）

在新基金会（NF）中，“x∉ “x”不是分层公式，因此我们同样不能定义Russell集。然而，有点有趣的是，V是NF中的一个集合

在冯·诺依曼——伯奈斯——哥德尔集合论（NBG）中，类R={x:x是一个集合，x∉ x}是可定义的。然后我们问R∈ R如果是这样的话，那么还需要R∉ R、 提出矛盾。因此，我们必须有R∉ 但这里没有矛盾，因为对于任何给定的A类，A∉ R意味着∈ A或A是一个合适的类。自R∉ R、 我们必须简单地证明R是一个适当的类

当然，类R={x:x∉ 没有限制的x}在NBG中是无法定义的

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同样值得注意的是，上述过程可以在NBG中正式构造为一个证明，而在ZFC中，人们必须求助于元推理。

我见过的最优雅的证明与罗素悖论非常相似

定理（我想是康托）。 设X为一个集合，2^X为其子集的集合。然后卡（X）<卡（2^X）

证明。卡（X）A1

x2--->A2

xk--->Ak

对于每个xk，机会是：xk要么属于Ak，要么不属于Ak。设M是所有不属于其对应集Ak的xk的集合。M是X的子集，因此必须存在X的元素M，该元素通过双射映射到M

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m属于m吗？如果它有，那么它没有，因为M是那些不属于它们映射到的集合的x的集合。如果它没有，那么它有，因为M包含所有这样的x。这种矛盾源于双射存在的假设。因此，双射不可能存在，两个基数不同，定理也得到了证明。

但是ZFC没有提到类，它只定义什么是集。是的，ZFC没有提到类。因此，您可以尝试重新声明类的悖论，但ZFC通过只允许为集合定义“is a member of”的概念来避开这一悖论。因此，问题仍然是“X是X的成员吗？”不能用ZFC的语言来表述，因为X不是一个集合，而且“X的成员”一词也没有定义为非集合。数学的目标不是理解像“这句话是假的”这样的自相矛盾，而是探索一致的思维体系。